4.6 Теорема «живых сил»

Дифференциал кинетической энергии конечного индивидуального объема сплошной среды равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутренних массовых, внешних поверхностных

и внутренних поверхностных сил:

Доказательство этой теоремы при первом чтении можно опустить.

Возьмем уравнение импульсов в дифференциальной форме (2.46) и умножим его скалярно на вектор перемещения бесконечно мало-го объема сплошной среды dw за время dτ [9]:

,

где .

Учитывая, что и интегрируя по произвольному объему,

движущемуся вместе с частицами сплошной среды (точка зрения Лаг-

ранжа), получим:

(4.8)

Скалярная величина в декартовой системе координат:

Так как дифференциал массы dm = ρ dW постоянен, то

поскольку по определению кинетическая энергия Е объема сплошной среды W равна:

Массовые силы разобьем на две группы: внутренние и внешние по отношению ко всему объему. Тогда второй интеграл в (4.8) будет равен:

где – элементарные работы внутренних и внешних по отношению к объему W массовых сил при бесконечно малом переме-щении.

Далее рассмотрим работу поверхностных сил. Следует иметь ввиду, что сумма всех внутренних поверхностных сил, действующих на объем, равна нулю, но работа этих сил может отличаться от нуля.

Поскольку:

,

то последний интеграл в (4.8) перепишем в виде:

(4.9)

Преобразуем первый интеграл в (4.9) в поверхностный при помощи теоремы Остроградского–Гаусса, а второй – разлагая тензор изменения скоростей по (3.42):

,

где тензор угловых скоростей поворотов элементарных объемов.

В результате получим:

(4.10)

где F – поверхность, ограничивающая объем W,

n_i – компоненты единичного вектора нормали к поверхности F.

Поскольку то:

где –элементарная работа внешних поверхностных сил, действующих на поверхность F при бесконечно малых перемещениях точек поверхности F.

Если тензор симметричен, то последний интеграл в (4.10) ра-вен нулю. Действительно, скалярное произведение симметричного тензора на антисимметричный :

Интеграл:

– (4.11)

представляет собой элементарную работу внутренних поверхностных сил (напряжений) в объеме W, которая по определению отрицательна.

Следовательно, уравнение (4.8) теперь можно записать в виде:

(4.12)

что и требовалось доказать.

Теорема «живых сил» является следствием уравнения импульсов и представляет собой уравнение баланса механической энергии, т.к. учитывает только ее механические виды. Общий случай рассматри-вается первым началом термодинамики.