7.10 Статические граничные условия в млс

Для определения параметров ζ и λ по формулам (7.23) нужно знать значения σ₀ и θ на контуре рассматриваемой области. Поэтому необходимо найти зависимости между известными при СГУ нормальным σ_n и касательным τ_к контактными напряжениями и σ₀ и θ в тех же точках контура.

Пусть на контуре S заданы σ_n и τ_к , причем (рис.7.26):

Рисунок 7.26 − К определению СГУ в МЛС

Выделим произвольную точку М контура S и проведем через нее нормаль к контуру. Угол между нормалью и осью x обозначим ψ. Перейдем в точке М к локальной системе координат x'y', совпадающей с нормалью и касательной к контуру в точке М. Угол наклона ЛС семейства а к оси x' будет равен θ' = θ - ψ , где θ – угол наклона этой же ЛС к оси x. Тогда по (7.20) в системе координат x'y':

Отсюда имеем:

Решая эти уравнения относительно σ₀ и θ, находим:

, (7.25)

где знаки следуют из четности функции cos. Знак решения выбирает-

ся из условий задачи.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Касательные напряжения на контуре отсутствуют (τ_к= 0):

Линии скольжения подходят к контуру под углом 45⁰.

2. Касательные напряжения на контуре максимальны (τ_к= k):

Линии скольжения подходят к контуру под углами 0⁰ и 90⁰.

3. На контуре σ_n и τ_к равны нулю (свободная поверхность):

Линии скольжения подходят к контуру под углом 45⁰, а среднее нор-

мальное напряжение равно пластической постоянной (имеется ввиду пластическая область).

7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство

Решение данной задачи относится к самым ранним работам по плоской деформации с применением теории течения.

Условия задачи: абсолютно твердый штамп с плоским основанием внедряется в пластическое полупространство без трения по поверхности контакта. Вертикальная составляющая скорости штампа равна V. Среда считается жесткопластической, ее механические свойства постоянны (упрочнением и разупрочнением пренебрегают). Предел текучести среды при сдвиге (пластическая постоянная) равен k.

Рассмотрим решение, данное Л.Прандтлем (рис. 7.27).

Рисунок 7.27 − Решение Прандтля

Основные допущения – среда перешла в пластическое состояние

в момент начального внедрения штампа и при этом поверхность полупространства DG не потеряла плоскостности (в действительности из-за несжимаемости металла в пластическом состоянии будет происходить выпучивание по обеим сторонам штампа); пластическая область распространяется по обе стороны штампа на расстояние, равное ширине штампа 2а (оснований для такого предположения нет).

Поскольку под штампом и угол , то в соответствии с п.7.10 здесь , т.е. ЛС семейства α будут подходить к основанию штампа под углом +45⁰, а семейства β –-45⁰. Т.к. СГУ на АB не меняются, то здесь const и поэтому сетка будет равномерной (см. рис. 7.25). Но по обе стороны штампа также и угол . Поэтому здесь тоже 45⁰. Но т.к. на свободных поверхносях σ_n =0, то на DA и BG известно и σ₀ = -k (поскольку имеет место сжатие). На АВ σ₀ неизвестно, как и σ_n . Точки А и В являются особыми, т.к. в них σ_n терпит разрыв. ЛС к ним могут подходить под самыми разными углами от 45⁰ до 135⁰. Поэтому СЛС под линией DABG не может быть равномерной; она состоит из трех равномерных сеток ADE, BAC и GBF, соединенных центрированными сетками AEC и BCF ( в соответствии со следствием из 1-й теоремы Генки). В области ADE (и GBF) . Поэтому в области BAC:

По (7.20) находим:

Усилие внедрения штампа: .

Рассмотрим кинематическую сторону задачи. Металл в треугольнике BAC движется вниз как твердое тело со скоростью штампа V. Вдоль линий AC и BC касательная составляющая скорости терпит разрыв (в теории МЛС показано, что разрывы скоростей возможны только на ЛС [28]). Нормальная составляющая равна . Вдоль CE и CF касательная составляющая, естественно, разрывна, а нормальная равна нулю. Поэтому в соответствии с (7.34) в центрированной сетке V = 0, a u = . Области ADE и GBF скользят как твердые тела в направлениях DE и FG со скоростью .

Позже Р.Хиллом было предложено другое решение, более близкое к действительности. Здесь предполагается, что пластические зоны по обеим сторонам штампа распространяются только на расстояние а (рис.7.28). Т.к. СГУ те же, то по линии контакта будет действовать такое же напряжение , как и в решении Прандтля.

Рисунок 7.29

Рисунок 7.28 − Решение Хилла

Усилие внедрения Р также останется прежним. Однако поле скоростей иное. Металл в треугольниках AJC и BCF скользит как твердое тело вдоль CG и CF со скоростью . На AJ и BF разрывов скорости нет. В центрированных сетках v = 0 и u = . В ADE и BHG металл движется вдоль DE и HG со скоростью . Т.о. в этом решении поле скоростей непрерывно.

Решение Хилла более реалистично потому, что как известно из решения аналогичной задачи для упругой области [10], максимальные напряжения в начале внедрения возникают по углам штампа.

В.Прагер показал, что можно построить бесчисленное множество

других решений, комбинируя решения Прандтля и Хилла и все они будут соответствовать заданным СГУ. Это свидетельствует о неоднозначности статической задачи ПДС для жестко-пластических сред. Причины рассмотрены в п.7.13. Здесь же можно указать, что статическая часть задачи о внедрении штампа будет иметь вполне однозначное решение при использовании модели упруго-пластической среды или же при экспериментальном определении длины участков AD и BG, находящихся в пластическом состоянии.