- •8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
- •1.1 Задачи курса «Механика сплошных сред»
- •1.2 Предмет механики сплошной среды
- •1.3 Методы механики сплошной среды
- •1.4 Основные принципы механики сплошной среды
- •1.5 Элементарный объем
- •1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера
- •1.7 Движение и равновесие сплошной среды
- •2 Статика сплошной среды
- •2.1 Напряжение в точке
- •2.2 Напряженное состояние в точке
- •2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного
- •2.4 Тензор напряжений
- •2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*
- •2.6 Условия симметричности тензора напряжений
- •2.7 Доказательство равенства парных касательных
- •2.8 Общий случай напряженного состояния*
- •2.9 Главные напряжения
- •2.10 Нормальные и касательные напряжения
- •2.11 Максимальные касательные напряжения
- •2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •2.13 Изображение напряженного состояния в точке
- •2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности
- •2.15 Уравнения равновесия
- •2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
- •2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
- •2.18 Краевая задача статики сплошной среды
- •3 Кинематика сплошной среды
- •3.2 Абсолютная и относительная деформация
- •3.3 Поле относительных смещений
- •3.4 Составляющие движения сплошной среды
- •3.5 Тензор малых деформаций
- •3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
- •3.7 Тензоры конечных деформаций
- •3.8 Общий случай малых деформаций *
- •3.9 Анализ деформированного состояния в точке
- •3.10 Инварианты тензора малых деформаций
- •3.11 Главные деформации
- •3.12 Максимальные угловые деформации
- •3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
- •3.14 Условия совместности деформаций
- •3.15 Определение перемещений по деформациям*
- •3.16 Поле скоростей
- •3.17 Первая теорема Гельмгольца
- •3.18 Тензор скоростей деформаций
- •3.19 Свойства тензора скоростей деформаций
- •3.20 Вторая теорема Гельмгольца*
- •4 Элементы термодинамики сплошных сред
- •4.1 Термодинамические системы и параметры состояния
- •4.2 Законы сохранения
- •4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии
- •4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности
- •4.5 Вывод уравнения неразрывности*
- •4.6 Теорема «живых сил»
- •4.7 Первое начало термодинамики
- •4.8 Уравнение теплопроводности
- •5 Основы теории упругости
- •5.1 Предмет теории упругости
- •5.2 Обобщенный закон Гука
- •5.3 Упругое изменение объема и формы
- •5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования
- •5.5 Постановка задач в теории упругости
- •5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях
- •5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях
- •5.8 Плоское напряженное состояние*
- •5.9 Плоское деформированное состояние*
- •5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
- •5.11 Функция напряжений*
- •5.12 Способы решения задач теории упругости*
- •6 Основы теории пластичности
- •6.1 Предмет теории пластичности
- •6.2 Переход в пластическое состояние при растяжении
- •6.3 Условия пластичности
- •6.6 Экспериментальная проверка условий
- •6.7 Теории пластичности
- •6.8 Теория пластического течения
- •6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон
- •6.11 Области применимости различных теорий пластичности
- •6.12 Экстремальные принципы пластического
- •7 Применение теории пластичности в омд
- •7.1 Постановка задач при расчетах процессов омд
- •7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд
- •7.3 Способы решения задач теории пластичности
- •1.Численные методы;
- •2.Прямые методы получения решений на основе экстремальных принципов мсс;
- •3.Уменьшения числа независимых переменных и искомых функций.
- •7.4 Частные виды напряженно-деформированных
- •1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
- •2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
- •7.5 Особенности плоского деформированного состояния
- •7.6 Осесимметричное деформированное состояние
- •7.7 Метод линий скольжения
- •7.8. Свойства линий скольжения
- •7.9 Простые сетки линий скольжения
- •7.10 Статические граничные условия в млс
- •7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство
- •7.12 Основные краевые задачи в млс*
- •7.13 Определение поля скоростей в млс*
- •7.14 Полные решения задач плоской деформации
- •Пластичности в омд”
- •8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
- •8.1 Скаляры и векторы
- •8.2 Векторный базис
- •8.3 Сложение и умножение векторов
- •8.4 Тензоры 2-го ранга
- •8.5 Преобразование компонент тензора
- •8.6 Сложение и умножение тензоров
- •8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров
- •8.8 Умножение тензора на вектор
- •8.9 Главные оси тензора
- •8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора
- •8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля
- •8.13 Векторное поле и векторные линии
- •8.14 Поток и дивергенция векторного поля
- •Теорема Остроградского–Гаусса:
- •8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
- •8.16 Оператор («набла»)
- •8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка
- •8.18 Потенциальные векторные поля
- •8.20 Гармонические векторные поля
- •8.21 Основная теорема векторного анализа
- •8.22 Производная и градиент векторного поля
- •8.23 Поток тензорного поля
- •8.24 Дивергенция тензорного поля
- •8.25 Производная тензорного поля по направлению
- •Предметный указатель
- •Перечень ссылок
8.3 Сложение и умножение векторов
Сложение векторов обладает коммутативностью и ассоциативностью [11]:
Для сложения (вычитания) векторов нужно сложить (вычесть) их соответствующие компоненты. Например:
= 24,6 + 7,2 – 1,4 ;
= 11,4 – 11,0 + 7,1 ;
= 36,0 – 3,8 + 5,7
Произведение вектора на скаляр k есть вектор ,модуль которого в раз отличается от модуля , а направление совпадает с при k > 0 и противоположно ему при k < 0:
Умножение на скаляр подчиняется правилам:
Скалярным произведением 2 векторов и · называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
Скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно:
В координатной форме скалярное произведение равно:
Т.о. результатом скалярного произведения двух векторов является не вектор, а скаляр.
Векторным произведением двух векторов является третий вектор
, перпендикулярный к плоскости векторов–сомножителей и направленный в ту сторону, откуда поворот от 1-го сомножителя ко 2-му на меньший угол виден против хода часовой стрелки и равен по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 8.3):
Рисунок 8.3 − Векторное умножение
Результатом векторного произведения двух векторов является аксиальный вектор . Аксиальными называются векторы, направление которых устанавливается соглашением и которые поэтому изменяют свое направление при замене правой системы координат на левую. Векторы, направление которых определяется только физическим смыслом отображаемого параметра (сила, скорость) и которые вследствие этого не изменяют своего направления при изменении системы координат, называются полярными. Векторное произведение дис-трибутивно, но антикоммутативно:
В координатной форме:
8.4 Тензоры 2-го ранга
Тензор (2-го ранга) – это переменная величина, определямая в любой системе координат n2 компонентами:
(8.3)
которые при изменении системы координат преобразуются в компоненты Ai'k′ по соотношению:
Ai'k′ = аi'j аk'm А jm , где i, k,j, m = 1, 2, … , n (8.4)
Здесь, как и везде в дальнейшем, имеется ввиду прямоугольная декартова система координат [11].
Тензоры 2-го ранга изображаются в виде матрицы их компонент
(8.3) или в сокращенной записи, аij , Ткm и т.д., где подразумевается изменение индексов от 1 до 3 (из-за 3-мерности физического пространства).
Количество компонент тензора k зависит от его ранга p:
k = nP ,
где n – размерность пространства.
У скаляра p= 0. Поэтому nо = 1. Это тензор 0-го ранга.
У вектора p = 1. Поэтому n1 = n . Это тензор 1-го ранга.
Тензоры 2-го и более высоких рангов необходимы для описания более сложных, чем векторные, физических величин. Например, для описания деформации изотропного упругого тела в точке необходимо 32=9 чисел, а упругих свойств анизотропного – 34=81 число.
Тензор можно определить и как совокупность n векторов. Например, для 3-мерного пространства:
где совокупность трех векторов преобразуется при повороте системы координат по соотношению: