5.8 Плоское напряженное состояние*

На практике иногда встречаются задачи, в которых объемное напряженно–деформированное состояние (НДС) весьма близко к какому-то частному случаю из-за малости отдельных компонент и (или) . Если этими компонентами пренебречь, то будем иметь дело с осесимметричным или плоским видом НДС, которые значительно проще общего случая. Поэтому один из способов решения задач теории упругости является замена объемного НДС его плоской или осесимметричной моделью, что облегчает решение.

Плоское напряженное состояние (ПНС) имеет место при деформации тонкой пластины (пластина считается тонкой, если ее толщина намного, на несколько порядков, меньше двух других ее размеров) силами, приложенными в ее срединной плоскости или равномерно распределенными по ее толщине (рис.5.3).

В этом случае компоненты тензора напряжений σ_z, τ_хz и τ_уz равны

Рисунок 5.3 − Плоское напряженное состояние

нулю (по определению) на плоских поверхностях пластины, и настолько малы по всей толщине пластины (из-за малости толщины), что ими можно пренебречь. По этой же причине три остальные компоненты σ_z, τ_хz и τ_уz можно считать не изменяющимися по толщине h. Вследствие этого изменения отличных от нуля компонент σ_ij будут происходить в плоскости ХОУ и напряженное состояние будет плоским.

Тензоры напряжений и деформаций при ПНС:

(5.21)

Деформированное состояние будет объемным, т.к. толщина пластины изменяется. Отсутствие γ_yz и γ_zx проявляется как отсутствие депланации пластины, для которой нет причин (напряжений τ_уz и τ_zх).

Величину ε_z можно найти из закона Гука:

Уравнения ПНС будут следующими:

– равновесия:

–Коши: (5.22)

– Гука:

Система (5.22) содержит 9 уравнений для 8 неизвестных. Переопределенность устраняется уравнением совместности (5.23):

(5.23)

Для решения задачи ПНС по методу перемещений для двух неизвестных u_х и u_у имеется 2 уравнения, получаемых аналогично уравнениям Лямэ общего случая:

(5.24)

где

Граничные условия (5.19) также соответственно упрощаются.

При решении в напряжениях имеется три неизвестных функции:

σ_х(х,у), σ_у(х,у) и τ_ху(х,у). Чтобы получить замкнутую систему уравнений, из (5.23) исключают деформации при помощи закона Гука:

(5.25)

В ОМД объемные силы пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными, поэтому ими можно пренебречь. Тогда дифференци-руя первое уравнение равновесия системы (5.22) по х, а второе по у и складывая их, будем иметь:

Подставляя полученное в (5.25), получим уравнение Леви:

или (5.26)

Т.о. при ПНС статическая задача является определимой:

(5.27)