7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд

Для решения задач ОМД теория пластичности в общем случае располагает следующими уравнениями:

1.Равновесия - ;

2.Связи-

3.Кинематическими: -

4.Неразрывности -

5.Теплопроводности -

Данная система из 17 уравнений содержит 17 неизвестных, сле-довательно, является замкнутой. Теоретически она позволяет рассчитать поля напряжений, скоростей, температур и распределение плотности в деформируемом упруго-пластическом теле с учетом упрочнения. Для определения изменения температуры на поверхности тела в результате остывания ее следует дополнить известными из курса теплотехники уравнениями теплообмена тела с инструментом посредством теплопроводности и с окружающей средой – излучением.

Заметим, что вышеприведенная система уравнений не содержит условия пластичности. Причина в том, что при наличии упрочнения нет условия, связывающего компоненты напряженного состояния между собой, как это имеет место при идеальной пластичности [28].

В случае использования модели идеально упруго-пластической среды (рис.6.11) и при условии, что процесс является изотермическим, система уравнений будет несколько иной и состоять из уравнений:

1. Равновесия -

2. Пластичности - (7.1)

3. Связи -

4. Кинематических -

Всего 16 уравнений для 15 неизвестных. Условие пластичности необходимо для того, чтобы отделить пластические области от упругих, в которых уравнениями связи являются уравнения обобщенного закона Гука. Естественно, что в частных случаях система уравнений пластичности еще проще.

Любая система уравнений теории пластичности содержит дифференциальные уравнения в частных производных. Для решения таких систем необходимо задать краевые условия в виде совокупности начальных и граничных условий.

К начальным условиям относятся:

- форма тела до деформации в виде эйлеровых координат всех точек его поверхности;

- распределения напряжений , скоростей течения среды ,

плотности и температуры в момент времени .

В простейшем случае используется положение «естественно-ненапряженного состояния» тела, когда считается, что до деформации во всех точках тела напряжения равны нулю. При изотермической постановке задач температура во всех точках тела . Изменением плотности в пластической области пренебрегают ввиду его малости.

Как и в теории упругости (см. п.5.5), граничные условия для пластических задач бывают:

1- статическими (СГУ), когда во всех точках поверхности деформируемого тела известны компененты вектора полного напряжения ;

2 -кинематическими (КГУ), когда для всех точек поверхности известны скорости течения ;

3 -смешанными (СмГУ), когда на части поверхности тела известны напряжения, а на остальной –скорости течения.

Однако обычно при ОМД ни один из этих видов граничных условий не реализуется полностью. Как правило, известны напряжения на свободных поверхностях (они тождественно равны нулю), нормальные составляющие скорости на поверхности контакта металла с инструментом и иногда – касательные составляющие ( в т.н. зонах прилипания, границы которых также неизвестны). Закон трения, который определяет соотношения между нормальными и касательными напряжениями, известен только приближенно. Обычно применяют закон Амонтона-Кулона , где f – коэффициент трения, или же закон Зибеля , в котором коэффициент пропорциональности условно также называют коэффициентом трения. В действительности трибологические закономерности значительно сложнее, в чем можно убедиться, прочтя монографию [37].