1.6. Числові характеристики багатовимірних випадкових величин

При вивченні двовимірних випадкових величин розглядаються числові характеристики одновимірних складових і – математичні сподівання і дисперсії. Поряд з ними розглядаються також числові характеристики умовних розподілів: умовні математичні сподівання і і умовні дисперсії і Ці характеристики знаходяться за звичайними формулами математичного сподівання і дисперсії, у яких замість ймовірностей подій або щільності ймовірності стоять умовні імовірності або умовні щільності імовірності.

 Умовним математичним сподіванням випадкової величини при умові називається величина

(1.76)

Для дискретного випадкового вектора умовне математичне сподівання випадкової величини при умові можна записати у вигляді

(1.77)

Для неперервного розподілу випадкового вектора умовне математичне сподівання випадкової величини при умові (при має вигляд

(1.78)

Аналогічні вирази можна записати і для умовного математичного сподівання випадкової величини при умові

Умовне математичне сподівання відіграє важливу роль у математичній статистиці. Ця роль пов’язана із наступною моделлю задачі.

Нехай у стохастичному експерименті спостерігається випадкова величина яка є компонентою випадкового вектора . Необхідно на основі спостереження випадкової величини найкраще оцінити випадкову величину Інакше кажучи, необхідно знайти таку функцію щоб випадкова величина якомога менше відрізнялась від випадкової величини

За міру відмінності між випадковими величинами часто приймають середнє квадратичне відхилення випадкової величини від

(1.79)

Задача полягає у знаходженні такої функції яка б забезпечила мінімальне значення

Нехай – випадковий вектор. Найкращою оцінкою випадкової величини на основі спостереження випадкової величини за критерієм мінімуму середнього квадратичного відхилення є функція яка визначається співвідношенням

(1.80)

Тобто, із усіх випадкових величин, які можна визначити, найменше, у розумінні середнього квадратичного відхилення, відрізняється від

 Умовне математичне сподівання випадкової величини при тобто є функція від , яка називається функцією регресії або просто регресією по Аналогічно називається функцією регресії по

Для опису системи двох випадкових величин, окрім математичних сподівань і дисперсій складових, використовуються й інші характеристики. До їх числа належать коваріація (кореляційний момент) і коефіцієнт кореляції.

 Коваріацією (або кореляційним моментом ) випадкових величин і називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин:

(1.81)

де

Для обчислення коваріації дискретних величин використовують формулу

(1.82)

а для неперервних величин формулу

(1.83)

Із означення випливає, що Крім того,

(1.84)

тобто коваріація випадкової величини з самою собою є її дисперсія.

Коваріація двох випадкових величин характеризує як ступінь залежності випадкових величин, так і їх розсіяння навколо точки

Властивості коваріації випадкових величин:

1. Коваріація двох незалежних випадкових величин дорівнює 0.

2. 

3. 

 Коваріаційною матрицею випадкової величини називається матриця вигляду

(1.85)

Ця матриця симетрична і додатно визначена. Її визначник називається узагальненою дисперсією і може служити мірою розсіювання значень системи випадкових величин .

Із означення коваріації випливає, що вона характеризує не тільки ступінь залежності двох випадкових величин, але і їх розсіяння навколо своїх середніх значень. Крім того, вона розмірна величина. Її розмірність визначається добутком розмірностей випадкових величин і Іншими словами, величина коваріації залежить від одиниць виміру випадкових величин. Така особливість коваріації є недоліком цієї числової характеристики, оскільки порівняння коваріацій різних систем випадкових величин стає ускладненим. Для того, щоб усунути цей недолік, вводять іншу числову характеристику – коефіцієнт кореляції.

 Коефіцієнтом кореляції випадкових величин і називається відношення їх коваріації до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин:

. (1.86)

Із означення коефіцієнта кореляції випливає, що Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною і не залежить від вибору одиниць вимірювання випадкових величин.

 Випадкові величини називаються некорельованими, якщо їх коваріація (або, що теж саме, коефіцієнт кореляції) дорівнює 0; величини називаються корельованими, якщо їх коваріація не дорівнює 0.

Дві незалежні величини завжди є некорельованими. Дійсно, припустивши зворотне, ми повинні зробити висновок, що а це суперечить умові, оскільки для корельованих величин

Зворотне твердження, взагалі, невірне: із некорельованості двох випадкових величин ще не випливає їх незалежність.

Властивості коефіцієнта кореляції: