1.1.3. Умовні ймовірності

Нехай події А та В – залежні. Для характеристики залежності одних подій від інших вводиться поняття умовної ймовірності.

 Умовною ймовірністю події А або називається ймовірність події А, обчислена при умові, що подія B відбулася.

Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку ймовірностей однієї з цих подій та умовної ймовірності другої події при умові появи першої:

(1.11)

Ця формула називається формулою множення ймовірностей залежних подій. З неї очевидно знаходимо: якщо ж відома сумісна ймовірність настання двох подій А і В, то умовна ймовірність події А при умові, що подія В відбулась, визначається за формулою

(1.12)

Якщо події А і В незалежні, то очевидно

.

Якщо події А і В сумісні, то ймовірність появи хоча б однієї із них дорівнює

(1.13)

Співвідношення (1.13) називається формулою додавання ймовірностей сумісних подій.

Нехай подія А може відбутись лише сумісно із однією із несумісних подій які утворюють повну групу. Оскільки невідомо, з якою із несумісних подій з’явиться подія А, ці події вважатимемо гіпотезами. Нехай відомі ймовірності цих гіпотез і умовні ймовірності події А при умові, що події відбулись. Тоді імовірність події А дорівнює

(1.14)

Рівність (1.14) називають формулою повної ймовірності.

Наслідком формули повної ймовірності (1.14) є формула Байеса. Вона застосовується, коли подія А, яка може відбутись тільки з однією із гіпотез , що утворюють повну групу подій, відбулась. Тоді умовна ймовірність може не дорівнювати Порівняння ймовірностей і дозволяє переоцінити ймовірність гіпотези після появи події А.

Для одержання шуканої формули запишемо формулу множення ймовірностей подій у двох формах:

звідки

(1.15)

Формула (1.15) називається формулою Байеса.

Значення формули Байеса полягає у тому, що при настанні події А, тобто по мірі одержання нової інформації, ми можемо перевіряти і коригувати ймовірності висунутих до випробування гіпотез. Такий підхід, який називається байесівським, дає можливість коригувати оцінки невідомих параметрів розподілів, які отримуються у статистичному аналізі.

1.2. Випадкові величини та їх закони розподілу

 Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування із випадковим наслідком набуває одне із своїх значень із можливої їх множини, заздалегідь невідоме, яке саме.

Прикладами випадкових величин можуть служити: час безвідмовної роботи приладу або системи, зріст людини, курс долара, кількість бракованих деталей у партії, температура повітря, виграш гравця, прибуток фірми тощо.

Випадкові величини будемо позначати прописними літерами латинського алфавіту X, Y, Z,.., а їх значення – відповідними рядковими літерами x, y, z,…

Найбільш повною, вичерпною характеристикою випадкової величини є її закон розподілу.

 Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Закони розподілу випадкових величин можуть мати різні форми. Вони можуть бути задані аналітично (у вигляді формул), у вигляді таблиць і графічно.

Розрізняють дискретні і неперервні випадкові величини.

 Дискретною випадковою величиною називається величина, яка приймає тільки скінчену або зліченну множину окремих значень з певними ймовірностями.

 Неперервною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал значень [a, b].

Для опису випадкової дискретної величини Х, яка приймає скінчену множину значень часто використовується ряд розподілу k = 1,2,..,n, який задається таблицею

де – можливі значення випадкової величини Х,

– імовірність події, що випадкова величина Х прийме значення

Оскільки події несумісні і утворюють повну групу, то сума їх імовірностей дорівнює одиниці, тобто

Нехай х – дійсне число. Імовірність події, яка полягає у тому, що Х прийме значення менше х, тобто імовірність події , позначається через .

 Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F(x), яка виражає для кожного х імовірність того, що випадкова величина Х у результаті випробування прийме значення, менше х:

(1.17)

Функцію іноді називають інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Геометрично функція розподілу інтерпретується як імовірність того, що випадкова точка Х попадає на числовій осі лівіше заданої точки .

Властивості функції розподілу:

1. Значення функції розподілу належать відрізку

2. зокрема:

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в інтервал дорівнює приросту її функції розподілу на цьому інтервалі:

(1.18)

4. неспадна функція на всій числовій осі, тобто якщо

За допомогою функції розподілу можна виразити ймовірності попадання Х у різні інтервали вигляду

Для дискретної випадкової величини Х функція розподілу має вигляд

(1.19)

Функція розподілу дискретної випадкової величини є неспадною розривною ступінчастою функцією, яка набуває значення в інтервалі [0, 1].

Функції розподілу дискретної і неперервної випадкових величин є їх загальними ймовірнісними характеристиками. Однак для неперервної випадкової величини більш наглядною є функція щільності розподілу імовірності.

 Закон розподілу випадкової величини Х називається абсолютно неперервним, якщо існує невід’ємна функція така, що при будь-якому

(1.20)

Функція називається щільністю розподілу ймовірностей.

Основні властивості щільності розподілу випадкової величини:

1)

2) у точках неперервності

3) Імовірність попадання значень випадкової величини Х у інтервал дорівнює

(1.21)

Закони розподілів неперервних випадкових величин наведені у підрозділі 1.4.

Для неперервних випадкових величин можна вивести аналоги формули повної ймовірності і формули Байеса, відомі нам для випадкових подій.

 Нехай імовірність якої-небудь події А залежить від того, яке значення х прийняла неперервна випадкова величина Х із щільністю Приймемо гіпотезу, яка полягає у тому, що випадкова величина Х прийняла значення, яке лежить на елементарній ділянці яка примикає до точки х. У границі при ця умова перетворюється у

Позначимо умовну імовірність події А при умові . Замінюючи у формулі повної ймовірності (1.14) імовірність гіпотези елементом імовірності , а суму – інтегралом, одержимо повну імовірність події А:

(1.22)

Формула (1.22) називається інтегральною формулою повної імовірності.

Відповідний аналог для неперервних випадкових величин має і формула Байеса. Нехай до випробування випадкова величина Х мала щільність розподілу Зроблено випробування, у результаті якого відбулась подія А. Умовну імовірність події А при позначимо . Знайдемо умовну щільність розподілу випадкової величини Х при умові, що відбулась подія А, позначимо її Замінюючи у формулі Байеса (1.15) імовірності гіпотез елементом імовірності , суму – інтегралом, одержимо:

(1.23)

де у знаменнику стоїть формула повної імовірності (1.18).

Формула (1.23) називається інтегральною формулою Байеса.