1.3. Числові характеристики випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Щоб визначити закон розподілу випадкової величини для дискретних величин, достатньо задати ряд розподілу, для неперервної – щільність імовірності або функцію розподілу. Між тим для вирішення багатьох задач практично не потрібно знати розподіл випадкової величини, а достатньо знати деякі числові параметри, які частково характеризують особливості розподілу, так звані числові характеристики випадкової величини. Наприклад, для опису розподілу випадкової величини можна обмежитись її середнім значенням і величиною розсіювання можливих значень навколо середнього значення. За їх допомогою полегшується розв’язання багатьох імовірнісних задач без визначення для них законів розподілу.

Важливою характеристикою положення випадкової величини на числовій осі є математичне сподівання М(Х), яке іноді називають середнім значенням випадкової величини.

 Математичним сподіванням відповідно дискретної і неперервної випадкової величини називається величина, яка визначається за формулами:

(1.24)

Іншими характеристиками місцеположення розподілів випадкових величин можуть служити медіана і мода.

 Медіаною випадкової величини називають таке її значення , яке ділить її розподіл на дві половини, тобто:

(1.25)

Геометрично вертикальна пряма , яка проходить через точку з абсцисою, яка дорівнює , ділить площину фігури під кривою розподілу на дві рівні частини. Очевидно, що у точці функція розподілу дорівнює 0,5, тобто

Відмітимо, що для дискретного розподілу медіана не завжди обчислюється однозначно.

 Модою випадкової величини Х називається її найбільш імовірне значення. Для неперервних розподілів, які мають щільність розподілу, мода відповідає такому значенню випадкової величини, яке є точкою максимуму для функції щільності ймовірностей.

Якщо імовірність або щільність імовірності досягає максимуму в одній точці, то такий розподіл називається одномодальним, якщо у декількох точках – то полімодальним.

Окрім математичного сподівання, медіани і моди у теорії ймовірностей використовуються і інші характеристики, кожна з яких описує певну властивість розподілу. Наприклад, числовими характеристиками, які характеризують розсіювання випадкової величини, тобто які показують, наскільки тісно згруповані її можливі значення навколо математичного сподівання, є дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Вони суттєво доповнюють характеристику випадкової величини, оскільки часто зустрічаються випадкові величини з рівними математичними сподіваннями, але різними розподілами.

 Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

. (1.26)

Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою:

(1.27)

а для неперервної – інтегралом:

(1.28)

Ця характеристика має низку важливих математичних властивостей. Однак, у наслідок підсумовування квадратів відхилень, дисперсія не дає істинного уявлення про саму величину відхилень, вимірюючи їх у квадратних одиницях. Тому на базі дисперсії вводиться інша характеристика – середнє квадратичне відхилення σ .

 Середнім квадратичним відхиленням σ (стандартним відхиленням) називається величина, яка дорівнює:

. (1.29)

Окрім основних характеристик розподілів центру (математичне сподівання) і розсіювання (дисперсія і стандартне відхилення) для докладного опису їх властивостей вводять інші додаткові характеристики. Зручною і логічно обґрунтованою є система характеристик, побудованих за тим же принципом, що і середнє арифметичне і дисперсія. Ці характеристики одержали назву моментів розподілів. У теорії ймовірностей розрізняють моменти двох видів – початкові і центральні.

 Початковим моментом k - го порядку випадкової величини називається математичне сподівання величини , тобто:

. (1.30)

Отже для дискретної випадкової величини початковий момент виражається сумою:

; (1.31)

а для неперервної – інтегралом:

(1.32)

Серед початкових моментів випадкової величини особливе значення має момент 1-го порядку, який є математичним сподіванням. Початкові моменти вищих порядків використовуються, головним чином, для обчислення центральних моментів.

 Центральним моментом k-го порядку випадкової величини X називається математичне сподівання величини :

(1.33)

де

Для дискретної випадкової величини:

(1.34)

для неперервної:

(1.35)

Для характеристики асиметрії (зкісності) розподілу випадкової величини служить третій центральний момент . Щоб одержати безрозмірну величину, його ділять на , де – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

 Коефіцієнтом асиметрії розподілу випадкової величини називається величина

(1.36)

Для симетричного розподілу значення випадкової величини, рівновіддалені від мають однакову імовірність, і тому , а отже, і Якщо , то коефіцієнт асиметрії характеризує додатну скошеність розподілу випадкової величини, якщо то від’ємну.

Четвертий центральний момент служить для характеристики крутості (гостровершинності або плосковершинності) розподілу.

 Ексцесом розподілу випадкової величини називається величина

(1.37)

Крива нормального розподілу з ексцесом E = 0 є немовби еталоном, з яким порівнюють інші розподіли. Більш гостровершинні криві мають додатний ексцес, а більш плосковершинні – від’ємний.

Звичайно у статистиці мають справу з одномодальними розподілами, тобто з такими, функція щільності ймовірності яких має один максимум. Для симетричних одномодальних розподілів математичне сподівання, медіана і мода співпадають. Відмітимо, що для більшості одномодальних розподілів математичне сподівання, медіана і мода розташовується на числовій осі у тому порядку, у якому вони перелічені. Таким чином, медіана лежить між математичним сподіванням і модою, причому ближче до математичного сподівання. Для одномодальних розподілів визначена спеціальна міра асиметрії – коефіцієнт асиметрії Пірсона, який обчислюється за формулою:

(1.38)

де – середнє квадратичне відхилення. Коефіцієнт Пірсона характеризує степінь відхилення моди від математичного сподівання. Для симетричних розподілів коефіцієнт Пірсона дорівнює 0.

 Квантилем порядку (або p-квантилем) випадкової величини X називається таке її значення , при якому функція розподілу F(x) приймає значення, рівне p:

(1.39)

Медіана є квантилем порядку 0.5, тобто .

Деякі квантилі одержали спеціальні назви. Квантилі –називаються квартилями, квантилі – децилями, – процентилями. Ці величини ділять область значень випадкової величини відповідно на 4, 10 і 100 інтервалів, значення з яких випадкова величина X приймає з рівними ймовірностями. Для багатьох розподілів значення квантилів заданого рівня підраховані, зведені у спеціальні таблиці і використовуються при побудові статистичних критеріїв.