ВСТУП

Розв’язання задач управління економічними, виробничими та управлінськими процесами базується на використанні новітніх комп’ютерних технологій (математичних і статистичних пакетів, електронних таблиць тощо). Останнім часом підвищений інтерес спостерігається до одного із важливих аналітичних інструментів інформаційного забезпечення систем підтримки прийняття рішень у галузі економіки, виробництва та управління – методів статистичного аналізу.

Існує багато спеціалізованих програмних засобів реалізації методів статистичних розрахунків: Statistika, SPSS, загально-математичні пакети – Excel, Mathcad та інші. Спеціалісти вважають, що найбільш універсальним засобом статистичних розрахунків є електронні таблиці які мають великий набір статистичних функцій, включаючи надбудову Пакет аналізу. Основні переваги – це зручний інтерфейс представлення інформації у табличному вигляді та якісна графіка. Таким чином є зручним засобом первинної обробки великих масивів статистичних даних.

У посібнику в якості інструмента математичних розрахунків обрано математичний пакет Mathcad. Вибір Mathcad обумовлений тим, що він є потужною й універсальною системою комп’ютерної математики, призначеною для математичних розрахунків. Він має достатню кількість вбудованих функцій для проведення імовірнісно-статистичних розрахунків і моделювання. Простота інтерфейсу Mathcad, широкий набір інструментів для комп’ютерної реалізації аналітичних і чисельних методів розв’язання математичних задач, якісна комп’ютерна графіка, можливість запису формул у їх природному вигляді зробили його одним із популярних інструментів математичних розрахунків. Достоїнством Mathcad є також його відкритість для поповнення новими алгоритмами, функціями користувача та програмами. Важливим компонентом Mathcad є система програмування, яка має мову, наближену до традиційних професійних мов програмування, що значно розширює обчислювальні можливості Mathcad.

Враховуючи окремі переваги того, чи іншого засобу математичних розрахунків, слід відзначити широкі можливості інтегрування Mathcad і доданків Windows – Excel, Word, Power Point, Paint, що підвищує потужність і ефективність сучасних комп’ютерних технологій обробки інформації та реалізації математичних розрахунків на високому професійному рівні.

Метою посібника є опис основних понять теорії ймовірностей і математичної статистики, методів і моделей задач, які мають найбільше застосування на практиці, а також комп’ютерної технології реалізації моделей статистичного аналізу в Mathcad. Відмінною особливістю посібника є його спрямованість на комп’ютеризацію навчального процесу.

Посібник складається із чотирьох розділів: основи теорії ймовірностей, методи оцінки параметрів статистичних розподілів, перевірка статистичних гіпотез, порівняння одновимірних вибірок.

У першому розділі розглядаються основні поняття теорії ймовірностей, необхідні для побудови ймовірнісних моделей і подальшого їх дослідження методами математичної статистики. Значна частина розділу присвячена ймовірнісним розподілам випадкових величин, які найбільш часто застосовуються у теорії ймовірностей, математичній статистиці та їх прикладеннях. Наведена графічна ілюстрація і вказані можливі області застосування цих розподілів.

Описані засоби Mathcad для ймовірнісних розрахунків і статистичного аналізу. Припускається, що читач знайомий з основами роботи у Mathcad хоча б у мінімальному обсязі: він може створювати формули і алгоритми, вводити і редагувати дані, будувати графіки, створювати текстові документи у Mathcad або текстовому редакторі Word, імпортувати файли Mathcad у Word, створюючи інтегровані файли для виведення результатів роботи.

Другій розділ присвячений методам і алгоритмам точкового та інтервального оцінювання параметрів розподілів. В основі цього розділу лежить модель вибірки, тобто розгляд даних спостережень як результат вибірки із деякої скінченої або гіпотетичної нескінченої генеральної сукупності. Таким чином, створюється база для аналізу статистичних закономірностей за результатами спостережень і вироблення статистичних рішень.

У третьому розділі викладені методи і моделі перевірки статистичних гіпотез про параметри розподілів випадкових величин, критерії перевірки гіпотез про закони розподілу (критерії згоди).

Четвертий розділ присвячений методам і моделям порівняння одновимірних вибірок – порівняння параметрів генеральних сукупностей, перевірка гіпотез про дисперсії нормальних розподілів, перевірка гіпотез про рівність часток ознаки, перевірка гіпотез про однорідність вибірок.

Для кожної описаної статистичної моделі наведений комп’ютерний алгоритм її чисельної реалізації.

З метою використання посібника у навчальному процесі в ньому дані задачі для самостійної роботи. Робота студента полягає у виборі підходящої математичної моделі задачі, визначенні її параметрів та чисельній реалізації за відповідними комп’ютерними алгоритмами. Це дасть можливість поглибити практичні знання теорії, розширити уявлення про області її застосування, розвинути вміння у розв’язанні задач за наведеними комп’ютерними алгоритмами.

Посібник є основою курсу комп’ютерних технологій статистичної обробки інформації, який викладається студентам вузів з напряму підготовки “Комп’ютерні науки”.

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ІМОВІРНОСТЕЙ

1.1. Випадкові події і ймовірності подій

1.1.1. Алгебра подій

Теорія ймовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності масових однорідних випадкових явищ.

Серед основних понять теорії ймовірностей і математичної статистики фундаментальними є поняття випробування (експеримент) і подія.

 Випробуванням називають спостереження деякого явища при виконанні певного комплексу умов, який кожен раз повинен строго виконуватись при повторенні даного випробування. Результати випадкового випробування заздалегідь не відомі і є випадковими.

 Будь-який факт називається випадковою подією, якщо при здійсненні певної сукупності умов S подія може відбутись або не відбутись. При цьому кажуть, що подія відбулась (з’явилась) або не відбулась (не з’явилась) у результаті випадкового випробування. Отже, випадкова подія є результатом випадкового випробування (експерименту).

Прикладами випадкових подій можуть служити відмови приладів у заданому інтервалі часу, прибуття певної кількості клієнтів у деякий сервіс, одержання якісних виробів при вироблених тощо.

У математичній моделі можна прийняти поняття події як первісне, інтуітивне, не визначене через інші поняття, і яке характеризується тільки своїми властивостями.

 Розрізняють такі види випадкових подій. Достовірною називають подію яка неодмінно відбудеться при певній сукупності умов, а неможливою – подію яка завідомо не відбудеться.

 Випадок , який зумовлює подію А, називається сприятливим події А.

 Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї із них виключає появу іншої події у одному і тому ж випробуванні, тобто вони не можуть відбутись одночасно. У протилежному випадку події називаються сумісними.

 Події називаються попарно несумісними, якщо поява однієї із подій виключає появу кожної іншої події в одному і тому ж випробуванні.

 Кажуть, що випадкові події утворюють повну групу, якщо вони попарно несумісні і в результаті кожного випробування обов’язково відбувається одна і тільки одна із них.

 Декілька подій у даному випробуванні називаються рівноможливими, якщо жодна із них не є об’єктивно більш можливою, ніж інші, тобто всі події мають рівні шанси.

 Випадкові події А та В називаються залежними, якщо поява однієї із них залежить від появи або не появи іншої, і незалежними, якщо поява однієї з них не залежить від появи чи не появи іншої.

В алгебрі випадкових подій над подіями визначені операції, які тотожні операціям з множинами.

 Подія називається протилежною події А (доповненням події А або запереченням А), якщо вона полягає в тому, що подія А не відбувається. Неможлива подія є протилежною до достовірної події Наприклад, у випробуванні з підкиданням грального кубика подія – “випаде непарна кількість очок” є протилежною події – “випаде парна кількість очок”.

 Сумою або об’єднанням подій А і В називається подія (або ), яка складається із усіх елементарних подій, які належать принаймні одній із подій А або В. Можна сказати, що у реальному випробуванні подія полягає у появі або події А, або події В, або подій А і В одночасно.

 Добутком подій А і В називається така подія АВ (або ), яка складається із елементарних подій, які належать і А, і В. Подія АВ полягає в одночасній появі події А і події В.

Поняття суми і добутку двох подій можна узагальнити на будь-яку кількість подій. Якщо послідовність подій утворює повну групу, то їх сума є усією множиною елементарних подій, а самі події несумісні, тобто

 Різницею подій А і В називається подія, яка складається із елементів множини А, які не належать множині В. Подія відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається А і не відбувається В.

 Подія А тягне за собою подію В (або А є частинним випадком події В), якщо кожний елемент події А міститься в В. Із появи події А випливає настання події В. Це позначається так:

 Якщо то кажуть що події А і В рівні (еквівалентні) і записують Іншими словами, дві події називаються рівними, якщо поява кожної із них зумовлює появу іншої, тобто обидві ці події або відбуваються, або не відбуваються.