1.7.3. Лінійне перетворення випадкової величини

Лінійна залежність між випадковими величинами має вигляд У цьому разі функція розподілу величини виражається через функцію розподілу величини Х у вигляді

(1.101)

Якщо випадкова величина Х неперервна (тобто існує її щільність імовірності ). Тоді

(1.102)

Між математичним сподіванням і дисперсією випадкових величин існують такі співвідношення:

(1.103)

Для статистичного аналізу особливий інтерес представляє лінійне перетворення до стандартного вигляду (нормування випадкової величини). Якщо випадкова величина Х має математичне сподівання М(Х) і дисперсію тоді випадкова величина у якої називається стандартизованою (нормованою) випадковою величиною.

1.8. Закон великих чисел і гранична теорема

У теорії ймовірностей і математичній статистиці велику роль відіграють нерівності, що пов’язують імовірності попадання випадкової величини Х у певний інтервал з числовими характеристиками розподілу. Найбільш загальними нерівностями такого типу є нерівності Маркова і Чебишева.

Нерівність Маркова. Якщо випадкова величина Х набуває тільки невід’ємних значень і має математичне сподівання , то для будь-якого невід’ємного числа А правильна нерівність

(1.104)

Нерівність Чебишева. Для будь-якої випадкової величини Х, яка має математичне сподівання і дисперсію , імовірність того, що відхилення Х від її математичного сподівання за абсолютною величиною більше за будь-яке додатне числа , не більше ніж

(1.105)

де

Враховуючи, що події протилежні, нерівність Чебишева можна записати і в іншій формі:

(1.106)

Під законом великих чисел розуміють ряд математичних теорем, в яких для тих чи інших умов встановлюється факт наближення середніх характеристик великої кількості випробувань до деяких певних сталих величин.

Теорема Чебишева. Нехай дана система попарно незалежних величин випадкових величин , які мають математичні сподівання і дисперсії, обмежені одним і тим же числом. Тоді при необмеженому зростанні числа середня арифметична випадкових величин збігається за імовірністю до середньої арифметичної їх математичних сподівань:

або (1.107)

Збіжність за ймовірністю у формулюванні теореми означає, що збіжність середнього арифметичного випадкових величин до середнього арифметичного їх математичних сподівань при гарантується з імовірністю 1.

Смисл теореми Чебишева – при великому числі випадкових величин практично достовірно, що їх середнє є величина випадкова, і як завгодно мало відрізняється від невипадкової величини , тобто практично перестає бути випадковою.

Наслідок. Якщо в умовах теореми Чебишева випадкові величини мають однакові математичні сподівання, які дорівнюють , то відповідні формули збіжності мають вигляд:

або (1.108)

Із теореми Чебишева випливає такий результат: якщо усі вимірювання проводяться з однаковою точністю, яка характеризується дисперсією , то дисперсія їх середнього арифметичного дорівнює

(1.109)

а її середнє квадратичне відхилення дорівнює Одержане відношення показує, що збільшуючи кількість вимірювань, можна як завгодно зменшити вплив випадкових похибок, тобто збільшити точність визначення істинного значення досліджуваної величини .

Теорема Бернуллі. Відносна частота події в повторних незалежних випробуваннях, у кожному із яких вона може відбутись з однією і тією ж імовірністю , при необмеженому збільшенні числа збігається за імовірністю до імовірності цієї події в окремому випробуванні:

(1.110)

Смисл теореми Бернуллі полягає у тому, що при великому числі повторних незалежних випробувань практично достовірно, що частота (або статистична ймовірність) події величина випадкова, як завгодно мало відрізняється від невипадкової величини імовірності події, тобто практично перестає бути випадковою.

Теорема Бернуллі дає теоретичне обґрунтування заміни невідомої імовірності події її відносною частотою або статистичною імовірністю, одержаною в повторних незалежних випробуваннях, які проводяться при одному і тому ж комплексі умов.

Центральна гранична теорема. Розглянутий закон великих чисел встановлює факт наближення середнього великої кількості випадкових величин до певних сталих величин. Але цим не обмежуються закономірності, які виникають у результаті сумарної дії випадкових величин. Виявляється, що при деяких умовах сукупна дія випадкових величин приводить до певного, а саме, до нормального закону розподілу.

Центральна гранична теорема представляє собою групу теорем, які встановлюють умови, при яких виникає нормальний закон розподілу. Виняткове значення центральної граничної теореми пояснюється тим, що вона є теоретичною основою застосування нормального розподілу при розв’язанні багатьох практичних задач. Завжди, коли можна припустити, що розглядувана величина є сумою великої кількості випадкових факторів, вплив кожної із яких настільки малий, що ним можна знехтувати її розподіл близький до нормального.

Наведемо найпростіший варіант центральної граничної теореми для сум незалежних однаково розподілених доданків із скінченним математичним сподіванням і скінченною дисперсією. Саме цей варіант теореми служить основою для побудови різних асимптотичних оцінок вибіркових параметрів розподілів у статистичному аналізі.

Теорема. Нехай – незалежні однаково розподілені випадкові величини із скінченними математичним сподіванням і дисперсією:

, ,

Позначимо Тоді Покладемо

Величина називається нормованою величиною з математичним сподіванням 0 і середнім квадратичним відхиленням 1.

Тоді при закон розподілу суми для будь-якого прямує до функції стандартного нормального розподілу з математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням 1, тобто

(1.111)

де – функція Лапласа.

Виявляється (у цьому і полягає зміст центральної граничної теореми для даного випадку), що закон розподілу нормованої суми незалежних однаково розподілених випадкових величин, які мають скінчені математичне сподівання і дисперсію, який би не був закон розподілу доданків, прямує при до стандартного нормального закону з параметрами 0 і 1. Ця властивість нормального закону лежить в основі його численних застосувань і робить зрозумілою ту роль, яку він відіграє в теорії ймовірностей.

Таким чином, центральна гранична теорема дає математично строгий опис

умов, які індукують механізм нормального закону розподілу. Вона виправдовує

зокрема закономірність тієї центральної ролі, яку відіграє нормальний розподіл в теорії та практиці статистичних досліджень. Зміст центральної граничної теореми можна вважати подальшим (після закону великих чисел) уточненням стохастичної поведінки середньої арифметичної із ряду випадкових величин.

Послідовність випадкових величин , закон розподілу якої при прямує до нормального закону, називається асимптотично нормальною.

Опираючись на центральну граничну теорему, можна стверджувати, що випадкові величини, розподілені за законами – біноміальним, Пуассона, гіпергеометричним, -розподілом, -розподілом Стьюдента при розподілені асимптотично нормально.