1. Коефіцієнт кореляції незалежних випадкових величин дорівнює 0, тобто .

2. Коефіцієнт кореляції приймає значення на відрізку , тобто

або (1.87)

1.7. Функції від випадкових величин

1.7.1. Закон розподілу функцій від випадкових величин

Функція від випадкових величин також є випадковою величиною. Взагалі, будь-яку випадкову величину можна представити у вигляді функції від деякої іншої випадкової величини. Перетворення випадкових величин часто застосовується у статистичному аналізі.

Нехай випадкові величини зв’язані взаємно однозначним співвідношенням Позначимо через щільності ймовірностей і функції розподілу випадкових величин відповідно. Вони пов’язані між собою наступними формулами:

(1.88)

Для знаходження числових характеристик випадкової величини не обов’язково знати закон її розподілу, достатньо знати закон розподілу аргументу:

(1.89)

(1.90)

1.7.2. Закон розподілу суми двох випадкових величин

Нехай є функція двох випадкових аргументів Вважаючи відомими щільності ймовірностей величин умовна функція розподілу, тобто умовна ймовірність події при умові дорівнює

(1.91)

де умовна щільність розподілу випадкової величини Х.

Функція розподілу випадкової величини обчислюється за формулами:

(1.92)

(1.93)

Знаючи конкретний вигляд функції можна виразити межі інтегрування через і написати вираз у явному вигляді.

У випадку, коли випадкові величини незалежні, їх щільність і формули (1.93), (1.94) набувають вигляду:

(1.94)

Із багатьох задач на визначення законів розподілу функцій декількох випадкових величин важливе значення для практики має задача визначення закону розподілу і числових характеристик суми випадкових величин і тобто випадкової величини У випадку, коли і – незалежні випадкові величини, то закон їх розподілу називається композицією (згорткою) законів розподілу.

Встановлено, що сума двох і більше альтернативних випадкових величин розподілена за біноміальним законом; сума двох випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, також розподілена за законом Пуассона.

Нехай щільності ймовірностей випадкових величин і дорівнюють відповідно Тоді функція розподілу випадкової величини має вигляд

(1.95)

Зокрема, якщо випадкові величини незалежні, то і попередня формула набуває вигляду:

(1.96)

Щільність імовірності випадкової величини дорівнює

(1.97)

Формули (1.98) називають формулами композиції двох розподілів або формулами згортки, які у стислому записі мають вигляд

(1.98)

Математичне сподівання випадкової величини (незалежно від того, чи будуть випадкові величини і незалежними), дорівнює

(1.99)

Дисперсія випадкової величини обчислюється за формулою

(1.100)

Якщо випадкові величини і незалежні, то

Композиція нормальних законів розподілу також має нормальний розподіл. Так, якщо незалежні нормально розподілені випадкові величини, тобто то випадкова величина також нормально розподілена У випадку, якщо нормально розподілені випадкові величини залежні (коефіцієнт кореляції ), то випадкова величина як і раніше нормально розподілена з параметрами