1.4.4. Рівномірний розподіл

Випадкова величина X має рівномірний розподіл на інтервалі , якщо її щільність імовірності дорівнює

(1.43)

Для цієї випадкової величини математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес відповідно дорівнюють

Графіки розподілу для різних значень параметрів наведені на

Рис. 1.4. Щільність рівномірного розподілу

Рівномірний закон розподілу використовується при аналізі похибок округлення при проведенні числових розрахунків, у ряді задач масового обслуговування, при статистичному моделюванні спостережень, підкорених заданому розподілу. Випадкова величина , розподілена за рівномірним законом на відрізку [0, 1], яка називається “випадковим числом від 0 до 1”, використовується для одержання випадкових чисел з будь-яким законом розподілу.

Функції Mathcad для роботи із рівномірним розподілом: dunif(), punif(), qunif(), runif().

1.4.5. Експоненціальний (показниковий) розподіл

Випадкова величина X має експоненціальний розподіл з параметром λ якщо її щільність імовірності і функція розподілу дорівнюють

(1.44)

Математичне сподівання, дисперсія, мода і медіана відповідно дорівнюють

Графік розподілу для різних значень параметра наведений на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Щільність експоненціального розподілу

Експоненціальний розподіл застосовується при моделюванні випадкових процесів у теорії масового обслуговування, теорії надійності тощо (він має так звану властивість відсутності післядії). Експоненціально розподілену випадкову величину можна інтерпретувати також як проміжок часу між двома послідовними настаннями подій у потоці Пуассона. Прикладна популярність експоненціального розподілу пояснюється не тільки різноманітними можливостями природної фізичної інтерпретації, але і винятковою простотою і зручністю його модельних властивостей. Для нього добре розроблений математичний апарат розв'язання багатьох практичних задач, у зв'язку з чим багато дослідників стараються описувати статистичні дані цим розподілом.

Функції Mathcad для роботи з експоненціальним розподілом: dexp(), pexp(), qexp(), rexp().

1.4.6. Розподіл Вейбулла

Випадкова величина має розподіл Вейбулла з параметрами якщо її щільність імовірності обчислюється за формулою

. (1.45)

Для цієї величини математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють:

Графік розподілу для різних значень параметрів наведений на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Щільність розподілу Вейбулла

Розподіл Вейбулла застосовується у теорії надійності, зокрема для опису часу безвідмовної роботи приладів. При розподіл Вейбулла перетворюється на експоненціальний розподіл з параметром

Функції Mathcad для роботи з розподілом Вейбулла: dweibull(), pweibull (), qweibull (), rweibull().

1.4.7. Нормальний розподіл

Неперервна випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами a і , якщо її щільність і функція розподілу ймовірностей обчислюються за формулами

(1.46)

Для нормально розподіленої випадкової величини математичне сподівання,

дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес дорівнюють:

Якщо випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами і то це записують у вигляді

Графіки щільності нормального розподілу (криві нормального розподілу) для різних значень параметрів і представлені на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Щільність нормального розподілу

Випадкова величина має стандартний або нормований нормальний розподіл, якщо і тобто Лінійне перетворення приводить довільну нормально розподілену величину до стандартного (нормованого) нормального розподілу.

Щільність нормованого нормального розподілу виражається формулою

. (1.47)

а його функція розподілу – де функція Лапласа

(1.48)

Функція розподілу нормальної випадкової величини виражається через функцію (інтеграл імовірності) Лапласа за формулою:

(1.49)

Геометрично функція нормального розподілу представляє собою площину під нормальною кривою на інтервалі Вона складається із двох частин: перша, на інтервалі дорівнює тобто половині усієї площини під нормальною кривою, і друга, на інтервалі яка дорівнює

Властивості випадкової величини, розподіленої за нормальним законом:

1. Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал обчислюється за формулою

(1.50)

де функція нормованого нормального розподілу.

2. Імовірність того, що відхилення випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, від математичного сподівання а за абсолютною величиною не перевищить величину , дорівнює

. (1.51)

Зокрема при має місце правило трьох сігм:

Це означає, що для нормально розподіленої випадкової величини з параметрами , тобто практично достовірно, що її значення вміщені в інтервалі

Фундаментальна роль, яку відіграє нормальний розподіл у теорії ймовірностей і математичній статистиці, пояснюється тим, що при достатньо широких умовах розподіл суми випадкових величин із зростанням кількості доданків асимптотично збігається до нормального. Відповідні умови збіжності наведені у центральній граничній теоремі теорії ймовірностей.

Функції Mathcad для роботи з нормальним розподілом: dnrom(), pnorm(), qnorm(), rnorm().