Раздел 1 применение методов теории вероятностей в задачах электроэнергетики

1-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Теория вероятностей—это математическая наука, изучающая· закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. Рассмотрим значение термина «случайный» применительно к событиям, величинам и функциям. I

Каждое событие, происходящее в окружающем мире, является результатом воздействия большого числа других событий, влияю­щих на возможность возникновения данного события. Случайным событием называется событие, которое может в данных конкретных условиях или произойти, или не произойти. В отличие от этого достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, а невозможным— событие, которое не может произойти. Что дает основание считать то или иное событие случайным, достоверным или невозможным?

Только опыт или наблюдения за событиями могут привести к каким-либо выводам. Однако опыт или наблюдения должны быть при этом достаточно длительными, иначе суждение о том, что собы­тие является случайным, достоверным или невозможным, может оказаться ошибочным. Только при достаточно большом количестве наблюдений за данным событием можно установить, является ли вообще данное событие случайным.

Естественно, возникает вопрос, существуют ли закономерности у случайных событий? Не являются ли понятия «закономерность» и «случайность» взаимно исключающими? Нет, эти понятия диалек­тически связаны между собой и не исключают друг друга. Про­изойдет ли в данном случае или не произойдет случайное событие, определяется совокупностью большого числа причин, которые в большенстве случаев практически нельзя проанализировать, но все же случайное событие происходит или не происходит вполне законо­мерно.

Так как невозможно проанализировать все причины, влияю­щие на возникновение случайного события, то и невозможно с до­стоверностью предсказать, произойдет оно или нет в данном конк­ретном случае. Если же рассматривать достаточно большое число случаев, когда событие может произойти или не произойти, или производить большое число проб (испытаний), то у любого случай­ного события начнет проявляться определенная объективная зако­номерность.

Давно было замечено, что если многократно наблюдать то или иное случайное событие, то относительная частота его возникновения, т. е. отношение числа случаев, когда событие происходит, к общему числу наблюденных случаев по мере увеличения их числа и при полной одинаковости условий, влияющих на возникновение данного собы­тия, слабо колеблется относительно некоторой постоянной величины, причем чем больше число наблюденных случаев, тем меньше размер этих колебаний. Устойчивость относительной частоты возникновения случайного события при значительном числе наблюденных случаев (испытаний) дает основание считать, что та величина, около кото­рой колеблется относительная частота, характеризует объективную возможность осуществления данного случайного события. Эта вели­чина в теории вероятностей называется вероятностью события. Таким образом, закономерность случайного события, определяемая его вероятностью, проявляется при достаточно большом числе наблю­дений или испытаний, т. е. на основе анализа большого статисти­ческого материала. Это обстоятельство является очень важным, так как попытки определить вероятность случайных событий при очень малом числе наблюдений могут привести к серьезным ошибкам вплоть до признания случайного события достоверным или невоз­можным.

Случайной величиной называется величина, принимающая в ре­зультате опыта то или иное значение ( это значение неизвестно заранее). Между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Если каждому случайному событию можно поставить в соответствие какую-либо величину, то появлению того или иного случайного события соответствует та или иная случайная величина. В качестве случайной величины можно принять и число однород­ных случайных событий за определенный промежуток времени. Слу­чайные величины отличаются от обычных (неслучайных) величин тем, что в разных случаях (или испытаниях) значения их могут быть разными. Однако все случайные величины подчинены тем или иным объективным закономерностям. Так, например, они могут иметь ограниченные области возможных значений; различные значения случайных величин могут иметь различные вероятности. Заметим, что к числу случайных величин относятся такие величины, как ошибки измерения, ошибки прогнозирования и т. п.

Случайной функцией называется величина, изменяющаяся при изменении аргумента случайным образом. В отличие от обычной (неслучайной) функции, имеющей определенные значения при определенном значении аргумента, случайная функция при заданном значении аргумента является случайной величиной, т. е. может иметь различные значения е различной их вероятностью.

Если аргументом случайной функции, как это в большинстве практических приложений имеет место, является время, то такая случайная функция называется случайным процессом.

В каждом отдельном опыте случайная функция имеет некоторое конкретное значение. Случайная функция в каждом отдельном οпыте представляется некоторой конкретной функцией аргумента –неслучайной. Эта конкретная функция называется реализацией случайной функции в данном опыте. Реализацией случайного процесса в данном опыте называется, очевидно, некоторая конкретная функция времени, наблюденная в данном опыте. Итак, реализацией случайной функции (случайного процесса) является неслучайная функция аргумента (времени), наблюденная в данном опыте. В дальнейшем будет paссматриваться главным образом случайный процесс, являющийся частным случаем случайной функции, так как в энергетике встречаются в основном случайные процессы, т. е. случайные функции времени.

1-2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

В энергетике случайные события имеют место, так же как и всех других отраслях деятельности человека. Энергетические системы объединяют большое число различных технических устройств: генерирующих, передающих или преобразующих энергию. Естественно, что условия работы большой совокупности даже однородных технических устройств резко отличаются друг от друга и носят с точки зрения энергетической системы как целого случайный характер. Так, например, то или иное устройство потребителей (электродвигатель, электровоз, электрическая лампа, электронагревательный прибор) случайно может быть или включенным, или отключенным

от электрической сети, работать с той или иной степенью использования. В результате наложения друг на друга таких случайных событий получается, например, та или иная величина спроса электрической мощности в энергосистеме, зависящая от совокупности случайных событий. Аварийные повреждения отдельных элементов энергетической системы(котлов, турбогенераторов трансформаторов, линий передачи) или снижения располагаемой мощности (из-за заноса поверхностей нагрева котлов, проточной части турбин и т. п.) также являются случайными coбытиями , возникающими в результате наложения большого числа неблагоприятных условий. Аварийные повреждения оборудования могут вызвать при отсутствии достаточного резерва мощности генерирующих источников необходимость перерывов в электроснабжении

части потребительских установок. Таким образом, основные условия работы

энергосистемы. а именно условия, определяющие величины суммар­ного спроса мощности в энергосистеме и суммарной располагаемой мощности для его покрытия, в свою очередь, определяются боль­шим числом случайных событий. Только зная вероятностные харак­теристики таких случайных событий, можно правильно определить суммарную величину спроса, величину необходимого резерва мощ­ности и т. д.

В энергетике очень важно при решении задач оптимизации, т. е. выборе оптимальных решений, использовать вероятностные харак­теристики случайных явлений. Например, надежность электро­снабжения отдельных потребителей зависит от случайных событий. Она определяется аварийными повреждениями оборудования, через которое потребитель получает питание электрической энергией. Можно выбрать схему питания потребителя или более надежной (наличие резервного питания), или менее надежной (однократное питание). Очевидно, что оптимальная схема будет соответствовать минимуму затрат. Чтобы найти этот минимум, следует оценить не только затраты на создание той или иной схемы элект­роснабжения, но и вероятный ущерб от перерывов электроснабже­ния для каждой из рассматриваемых схем. Определение вероятного ущерба невозможно без использования методов теории вероятностей.

Возможны два метода определения вероятности случай­ного события: классическое и статистическое.

Классическое определение, или подсчет вероят­ности, применимо только в том случае, если изучаемые случайные события образуют так называемую полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий. События, образующие такую группу, называются случаями . Это означает, что одно событие из совокупности случайных событий должно произойти обя­зательно, т. е. возникновение хотя бы одного из событий досто­верно. Кроме того, два события из этой группы одновременно воз­никнуть не могут и любое из событий данной группы имеет оди­наковую вероятность. В этом случае вероятность считают равной отношению числа случаев, когда данное событие происходит, к об­щему числу возможных случаев. Как видно из данного определения, понятие классического определения вероятности может применяться редко, так как обычно на практике общее число случаев, а также число «благоприятных» случаев, когда данное событие происходит, не может быть подсчитано. Кроме того, допущение о равной воз­можности тех или иных событий данной группы не всегда удается доказать. Поэтому в энергетике, например, приходится пользоваться только статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности, как по­казывает само название, базируется па статистических материалах. Наблюдая какое-либо случайное событие или осуществляя соответ­ствующие испытания, можно определить относительную частоту воз­никновения данного события. При достаточно большом числе наблю­дений или испытаний относительная частота возникновения события колеблется около некоторой постоянной величины, называемой статистической вероятностью данного случайного события. Ее можно определить достаточно точно, если произвести большое число наблю­дений или испытаний. Таким образом, вероятность случайного собы­тия вскрывается только на основе статистических материалов. При отсутствии таких материалов, а также при малом числе испытаний или наблюдений определить статистическую вероятность случайного события даже приближенно не представляется возможным. Естественно, что математическая статистика, изучающая законы обработки статистических материалов, является разделом теории вероятностей. Отсюда следует упомянутое выше положение, что использовать аппа­рат теории вероятностей для решения каких-либо практических задач нельзя, не располагая необходимым исходным статистическим материалом достаточного объема.

Различные случайные события символически обозначаются боль­шими буквами А, В, С; достоверное событие обозначается буквой U, а невозможное событие—буквой V. ^

Рассмотрим различные связи случайных событий и их символическое изображение:

1) А∩В. Событие А содержится в В, т. е. если событие А происходит, то обязательно происходит и событие В;

2) А = В. Событие А происходит, если происходит В, и наоборот. Это условие эквивалентно двум условиям: А∩В и В ∩А ;

3) АВ. События А и В происходят одновременно;

4) А+В. Происходит или событие А, или событие В, или оба одновременно (происходит хотя бы одно из событий А и В)',

5) А—В. Событие А происходит, но при этом событие В не происходит;

6) Ā—событие противоположное А. Если А происходит, то Ā не происходит, и наоборот. При этом A+A = U, τ. е. одно из событий А или Ā обязательно происходит. Кроме того, A·Ā=V, т. е одновременно А и Ā не могут происходить;

7) AB = V. События А и В несовместимы, т. е. одновременно произойти не могут. Отличие несовместимых событий от противоположных в том, что несовместимые события могут вообще не происходить; 8) А =В₁+В₂ = В₃ и В₁В₂ = В₁В₃ = В₂В₃ = V. Событие А подразделяется на частные случаи: В1,В₂ и В₃, которые попарно несовместимы. Событие A может не происходить вообще;

9) В₁+В₂+В₃ = U и В₁В₂= В₁В₃ = В₂В₃ = V. Полная группа несовместимых событий. Одно из них обязательно происходит (в от­личие от п. 8).

Наглядное графическое представление указанных связей между случайными событиями дает рис. 1-1, на котором всем рассмотрен­ным случаям соответствует квадрат с площадью, равной единице. На площадь этого квадрата произвольно ставится точка, что соот­ветствует некоторому конкретному случаю. Если точка попадает в область А, то событие А происходит. Если она попадает вне области А, то событие А не происходит (площадь области А характери­зует вероятность события А. Заштрихованная часть квадрата соот­ветствует событию.

В дальнейшем будем обозначать вероятность события А через Р(А}. (Вероятность рабочего состояния будет сокращенно обозначаться через р, а вероятность аварийного состояния—через q.)

Два случайных события, например А и В, будут считаться не­зависимыми, если наступление одного из них не влияет на вероят­ность наступления друго­го, и зависимыми—в об­ратном случае.

Обычно в энергетике приходится изучать веро­ятности не простых слу­чайных событий, а слож­ных случайных событий, являющихся комбинация­ми ряда простых (элемен­тарных). Определение ве­роятности сложного собы­тия через известные значе­ния вероятности простых событий производится ис­ходя из так называемых законов вероятности сложных событий. Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформулированы следующим образом :

1. вероятность возникновения хотя бы одного из двух случай­ных независимых и несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Возникновение одного из двух случай­ных событий А и В символически обозначается их суммой А + В;

Р(А + В) = Р(А) + Р(В); (1-1)

2} вероятность возникновения хотя бы одного из двух незави­симых и совместимых случайных событий А и В может быть записа­на как

(1-2)

3) вероятность' одновременного возникновения двух несовмести­мых событий А и В равна нулю. Одновременное возникновение двух событии А и В символически обозначается их произведением АВ. В данном случае

Р(АВ) = 0;. (1-3)

Рис. 1-1

4) вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р{А)Р(В}; (1-4)

5) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, Событие Ā, противоположное данному событию А, всегда происхо­дит, если не происходит событие А, и всегда не происходит, если событие А происходит, т. е.

Р(Ā)+Р(А) = 1. (1-5)

Вероятность противоположного события

Р(А)=1 -- Р{А). (1.6)

Рассмотрим применение указанных законов в энергетике.

Ава­рийные повреждения оборудования являются случайными событиями. При большом числе агрегатов электростанций и элементов сети повреждение одних устройств может сочетаться с повреждением других устройств. Возникает задача определения вероятности одно­временного повреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети. В ряде случаев необходимо также определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет, так как эта величина характеризует надежность работы всего обо­рудования. Эти задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением или надежности работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или надежности питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устойчивости энерго­системы (выбор оптимального уровня устойчивости). Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместимые случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статистическая вероятность на основе длительного наблюдения над аварийностью данного или однотипного оборудования. Для иллюстрации определения вероятности сложных событий рассмотрим примеры.

Пример 1-1. Определить вероятность повреждения энергетического блока, представляющего coбoй последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Паровая турбина получает весь пар от парового котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, т. е. исполь­зует всю ее мощность. Вероятности повреждения отдельных элементов блока известны: для q_k = 0,02; q_т = 0,01; q_г для котла, турбины и генератора соот­ветственно.

Очевидно, что аварийный выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из трех указанных элементов блока. Так как неповреждение является случайным событием, противоположным повреждению, то вероятности неповреждения элементов блока [см. (1-6)]

р_к = 1 --0,02=0,98; р_т= 1—0,01=0,99; р_г = 1 --0,001 = 0,999.

Найдем вероятность того, что все элементы блока не повреждены, т. е. блок работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать неза­висимой от других элементов, то вероятность того, что все три элемента не по­вреждены, т. е. вероятность работы блока |см. (1-4)

р_бл = р_кр_т р_г= 0,98-0,99.0,999= 0,9692298.

Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к неповреждению блока, поэтому вероятность повреждения блока

q_бл = 1 — 0,9692298 = 0,0307702.

Можно определить эту же величину, если рассмотреть все частные случаи

(их может быть только семь) повреждения элементов блока: а) котла; б) турби­ны; в) генератора; г) котла и турбины; д) котла и генератора; с) турбины и ге­нератора; ж) котла, турбины и генератора.

Найдем вероятность каждого из этих частных случаев повреждения блока, исходя из формул (1-4) и (1-6):

а) вероятность повреждения котла,

0,02·0,99-0,999= 0,0197802.

Было бы неправильным считать, что вероятность повреждения только котла равно 0,02, так как в число событий «повреждение котла» вошли бы события одновременного повреждения котла и других элементов,

В случае а) интерес представляет повреждение только котла при неповреж­дении других элементов. Именно поэтому 0,02 умножается на 0,99 и 0,999;

б) вероятность повреждения турбины

0,98-0,01.0,999=0,0097902.

Аналогично получим вероятности для остальных случаев:

в)0,98.0,99.0,001 =0,0009702;

г) 0,02.0,01.0,999 = 0,0001998;

д) 0.02.0,99.0,001 = 0.0000198;

е) 0 ,98.0,01.0.001=0.0000098;

ж) 0,02.0.01 .0,001 =0,0000002.

Если сложить вероятности для всех семи случаев, то получится вероятность повреждения блока, равная 0.0307702. Как видно, для определения вероятности повреждения блока первый путь гораздо проще и требует меньше расчетов. Зато второй путь позволяет не только получить величину общей вероятности повреж­дения блока, но и проанализировать вероятность различных причин повреждения всего блока. Наибольшее значение имеет вероятность повреждения котла, а за­тем—турбины. Вероятность этих двух случаев составляет 0,0295704 из общей вероятности 0,0307702.

Пример 1-2. Потребитель питается по двухцепной линии электропередачи. Вероятность повреждения и выхода из строя каждой цепи составляет q = 0.001. По любой из цепей потребитель может получить всю нужную ему мощность. Ка­кова вероятность сохранения электроснабжения данного потребителя?

Потребитель теряет электроснабжение только в случае аварийного выхода обеих цепей. Вероятность этого но (1-4) равна 0,001.0,001 = 0,000001. Вероят­ность сохранения питания, т. е. надежность энергоснабжения, по (1-6) равна 1—0,000001= 0,999999.Если по одной цепи может быть передано только 50% мощ­ности, то вероятностъ передачи только 50% мощности можно определить так. Вероятность выпадения первой цепи при сохранении второй равна 0,001.0,999 = 0.000999, где второй множитель соответствует вероятности сохранения второй цепи. Вероятность выпадения второй цепи при сохранении первой составляет 0,999.0.001 = 0,000999. Суммарная вероятность .выпадения только одной цепи по (1.1) определится как сумма обеих вероятностей, т. е. 0,001998. Вероятность сохранения полной нагрузки, очевидно, равна 0,999·0.999 = ·0,998001, а вероятность полной потери питания равна 0.001 .0,001 = 0,000001. Заметим, что сумма вероятностей сохранения полной наг рузки, сохранения 50% нагрузки и полной потери питания равна единице, так как эти события составляют полную группу несовместимых событий;

0,998001+0,001998+0,000001=1.

Рассмотрим вероятности зависимых__случайных событий. Пусть события А и В являются зависимыми,т.е. вероятность одного из этих событий изменяется, если происходит другое событие. Для оценки этого вводится понятие условной вероятности.