2.4. Симплекс метод решения задачи

линейного программирования

Геометрическая интерпретация при решении задач линейного программирования перестает быть пригодной для этой цели при числе свободных переменных n –m > 3, а затруднительной уже при n –m = 3.

Для нахождения задачи линейного программирования в общем случае применяются не геометрические, а вычислительные методы. Из них наиболее универсальным является так называемый с и м п л е к с – м е т о д.

Пусть в задаче имеется n переменных и m независимых линейных ограничений, заданных в форме уравнений. Известно, что оптимальное решение (если оно существует) достигается в одной из опорных точек (вершин ОДР), где по крайней мере k = n -- m из переменных равны нулю. Выберем какие-то k переменных в качестве свободных и выразим через них остальные m базисных переменных. Пусть, например, в качестве свободных выбраны первые k = n -- m переменных х₁,х₂, . . . . . х _{k ,} а остальные через них:

x_k+1 = α _k+1,1 x ₁ + α _k+1,2 x ₂ + . . . . .+ α _k+1,k x _k + β _k+1 ,

x_k+2 = α _k+2,1 x ₁ + α _k+2,2 x ₂ + . . . . .+ α _k+2,k x _k + β _{k+2 ,} (2.10)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . ..

x n = α _n,1 x ₁ + α _n,2 x ₂ + . . . . .+ α _n,k x _k + β _n .

Попробуем, что будет, если положить все свободные переменные х₁,х₂, . . . . . х _k равными нулю:

х₁ = 0, х₂ = 0 , . . . . ., х _k = 0.

При этом получим:

x _k=1 = β _k+1 , x _k=2 = β _k+2 , . . . . , x _n = β _n .

Это решение может быть допустимым или недопустимым. Оно допустимо, если все свободные члены неотрицательны. Предположим, что это условие выполнено. Тогда мы получили о п о р н о е р е ш е н и е. Но является ли оно оптимальным? Чтобы это проверить, выразим минимизируемую линейную функцию L через свободные переменные х₁,х₂, . . . . . х _k :

L = γ₀ + γ₁ х ₁ + γ₂ х ₂ + . . . . + γ_k х _k . (2.11)

Очевидно, что при х₁ = х₂ = . . . . .= х _k = 0 L = γ₀ . Посмотрим, не можем ли мы улучшить решение, т.е. уменьшить функцию L , у в е л и ч и в а я какие-нибудь из переменных х₁,х₂, . . . . . х _k (уменьшать мы их не можем, т.к. все они равны нулю, а отрицательные значения переменных недопустимы). Если все коэффициенты γ₁, γ_{2, . . . . .} γ _k в выражении (2.11) п о л о ж и т е л ь н ы , то, увеличивая какие-то из переменных х₁,х₂, . . . . . х _k сверх нуля, мы не можем уменьшить L; следовательно найденное нами опорное решение является о п т и -м а л ьн ы м. Если же среди коэффициентов γ₁, γ_{2, . . . . .} γ _k в выражении (2.11) есть отрицательные, то, увеличивая некоторые из переменных х₁,х₂, . . . . . х _k , а именно –те, коэффициенты при которых отрицательны, мы можем улучшить решение, т.е. уменьшить L.

Пример 3. Имеется задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами:

--5х₁ -- х₂ + 2х₃ ≤ 2,

--х₁ + х₃ + х₄ ≤ 5 , (2.12)

--3х₁ + 5 х₂ ≤ 7.

Требуется минимизировать линейную функцию

L = 5х₁ -- 2х₃ .

Решение. Приводя неравенства к стандартному виду (≥ 0 ) и вводя добавочные переменные y₁, y₂ , y₃, переходим к условиям-равенствам:

y₁ = 5х₁ + х₂ -- 2х₃ + 2,

у₂ = х₁ -- х₃ -- х₄ + 5 _, (2.13)

у₃ = 3х₁ -- 5 х₂ + 7.

Число переменных n = 7 на 4 превышает число уравнений m = 3. Значит, четыре переменных могут быть выбраны в качестве свободных.

Попробуем выбрать в качестве свободных переменных х_1, х ₂ , х _3, х₄ и положить их равными нулю . При этом получим опорное решение

х₁ = х ₂ = х ₃ = х₄ = 0; у₁ = 2; у₂ = 5; у₃ = 7.

При этих значениях переменных L = 0.

Посмотрим, является ли это решение оптимальным ? Нет ! Потому что в выражении линейной функции L коэффициент при х ₃ отрицателен. Значит, увеличивая х ₃ , можно уменьшить L .

Попробуем увеличивать х ₃ . Проследим по по уравнениям (2.13), опасно ли это для других переменных ? Да, опасно для y₁ и у₂ -- в оба эти уравнения переменная х ₃ с отрицательным коэффициентом, значит, при увеличении х ₃ соответствующие переменные y₁ и у₂ могут стать отрицательными.

Посмотрим, какая из этих переменных y₁ или у₂ раньше обратится в нуль при увеличении х ₃ . Очевидно, y₁ ; она станет равной нулю при х ₃ = 1, а у₂ -- только при х ₃ = 5.

Поэтому выбираем переменную y₁ и вводим ее в число свободных вместо х ₃ . Чтобы «переразрешить» систему (2.13) относительно х ₃ , у₂ , у₃ , поступим следующим образом . Разрешим первое уравнение (2.13) относительно новой базисной переменной х ₃ :

х ₃ = _5/2 х₁ + ½ х₂ -- ½ y₁ .

Это выражение вместо х ₃ подставим во второе уравнение; получим

у₂ = -- 3/2 х₁ -- ½ х₂ + ½ у₁ --х₄ + 4.

Что касается третьего уравнения, то оно, как не содержащее х ₃ , не изменится. Итак, мы привели систему (2.13) к виду:

х ₃ = _5/2 х₁ + ½ х₂ -- ½ y₁ ,

у ₂ = -- 3/2 х₁ -- ½ х₂ + ½ у₁ -- х₄ + 4 , (2.14)

у₃ = 3х₁ -- 5 х₂ + 7

со свободными переменными х_1, х_2, у_1, х₄ и базисными х _{3 ,} у ₂ , у_3.

Выразим линейную функцию L через новые свободные переменные:

L = 5х₁ -- 5х₁ -- х₂ + у₁ -- 2,

или

L = -- х₂ + у₁ -- 2. (2.15)

Положим теперь свободные переменные равными нулю. Линейная функция L станет равной –2. Это уже лучше, чем прежнее значение L = 0. Но является ли это решение оптимальным ? Все еще нет , т.к. коэффициент при х₂ в выражении (2.15) отрицателен. Итак, будем увеличивать х₂ . Посмотрим, для какой из переменных , стоящих в левых частях системы (2.14) , это может быть «опасно». Только для у ₂ ( в первое уравнение х₂ входит с положительным коэффициентом, а в третье совсем не входит).

Итак, обменяем местами переменные х₂ и у ₂ -- первую выведем из числа свободных , а вторую - введем. Для этого разрешим второе уравнение (2.14) относительно х₂ и подставим это х₂ в первое уравнение. Получим еще один вид системы (2.13):

х₃ = х₁ -- у ₂ -- х₄ + 5;

х₂ = -- 3х₁ -- 2у₂ + у₁ --2х₄ + 8; (2.16)

у₃ = 3х₁ -- 5 х₄ + 7.

Выразим L через новые свободные переменные:

L = 3х₁ + 2у₂ -- у₁ + 2 х₄ -- 8 + у₁ -- 2,

или

L = 3х₁ + 2у₂ + 2х₄ -- 10. (2.!?)

Полагая х₁ = у₁ = х₄ = 0, получим

L = -- 10.

Является ли это решение оптимальным? На этот раз - да, так как коэффициенты всех свободных переменных в выражении (2.17) неотрицательны.

Итак, оптимальное решение ОЗЛП найдено:

х₁* = 0, х₂* = 8, х₃* = 5, х₄* = 0, у₁* = 0, у₂ = 0; у₃ = 7.

При таких значениях переменных линейная функция принимает минимальное значение:

L_min = --10.

Заметим , что в рассмотренном примере нам не пришлось искать опорного решения: оно сразу же получилось, когда мы положили свободные переменные равными нулю. Это объясняется тем, что в уравнениях (2.13) все свободные члены были неотрицательны и, значит, первое же попавшееся оказалось опорным. Если это окажется не так, можно будет прийти к опорному решению с помощью такой же процедуры обмена местами некоторых базисных и опорных переменных, переразрешая уравнения до тех пор, пока свободные члены не станут отрицательными.

При решении практических задач обычно используется обычно используется табличный алгоритм замены базисных переменных. Процедура «переразрешения» системы уравнений-ограничений ОЗЛП при этом сводится к заполнению стандартных таблиц по определенной системе правил [ Л.6,7,8].