2. 2. Основная задача линейного программирования

Различные практические задачи, сводящиеся к схеме линейного программирования, могут иметь линейные ограничения вида неравенств, другие – равенств, третьи как тех так и других.

Задача линейного программирования с ограничениями—равенствами носит название основной задачи линейного программирования ( ОЗЛП ).

Основная задача линейного программирования ставится следующим образом.

Имеется ряд переменных

x₁, x₂, . . . . . ., x _n .

Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений :

a₁₁ x ₁ + a₁₂ x ₂ + . . . . + a_1n x _n = b ₁ ;

a₂₁ x ₁ + a₂₂ x ₂ + . . . . + a_2n x _n = b ₂ ;

( 2.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. … .

a_m1 x ₁ + a_m2 x ₂ + . . . . + a_mn x _n = b _m ,

и, кроме того, ОБРАЩАЛИ БЫ В МИНИМУМ линейную функцию

L = c₁ x₁ + c₂ x₂ + …….+ c_n x_n . (2.2)

Очевидно, случай, когда линейную функцию нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию

L^׳ = -- L = -- c₁ x₁ -- c₂ x₂ -- …….-- c_n x_n . (2.3)

Условимся называть д о п у с т и м ы м решение ОЗЛП любую совокупность переменных

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ……, x _n ≥ 0 ,

удовлетворяющую уравнениям (2,1 ).

О п т и м а л ь н ы м решением будем называть то из допустимых решений, при которым линейная функция ( 2.2 )

обращается в минимум.

ОЗЛП необязательно должна иметь решение. Может оказаться , что уравнения (2.1 ) противоречат друг другу; может оказаться, что они имеют решение, но не в области отрицательных значений x_{1 ,} x₂, . . . . . _, x _{n .}

Тогда ОЗЛП не имеет допустимых решений. . Наконец, может оказаться, что допустимые значения ОЗЛП существуют, НО СРЕДИ НИХ НЕТ ОПТИМАЛЬНОГО: ФУНКЦИЯ L в области допустимых решений неограниченна снизу.

Вопрос о существовании неотрицательных значений x_{1 ,} x₂, . . . . . _, x _n , удовлетворяющих системе уравнений ( 2.1 ) рассматривается в специальном разделе математики – линейной алгебре.

2.3 Геометрическая интерпретация основной задачи линейного программирования

Рассмотрим пример 1. Найти max ( 2 x₁ + 5 x₂ ) = z при условиях x₁ ≤ 400, x ₂ ≤ 300,

x₁ + x ₂ ≤ 500, x₁ ≥ 0, x ₂ ≥ 0.

Каждое из этих неравенств – ограничений определяет полуплоскости , пересечение которых дает многоугольник , который заштрихован на рис. 1 . Этот многоугольник (выпуклый многогранник ) и представляет собой допустимое множество решений К задачи линейного программирования.

\

Рассмотрим целевую функцию f ( x₁ , x₂ ) = 2 x₁ + 5 x₂ .

Пусть f ( x₁ , x₂ ) = 1000 = z₁. График уравнения 2 x₁ + 5 x₂ = 1000 представляет собой прямую с отрезками на осях x₁ = 500 единиц , а x₂ = 200 единиц.

2 x₁ / 1000 + 5 x₂ / 1000 = x₁ / 500 + x₂ / 200 = 1.

При f ( x₁ , x₂ ) = 1500, получим прямую z₂ , имеющую уравнение

2 x₁ / 1500 + 5 x₂ / 1500 = x₁ / 750 + x₂ / 300 = 1.

Прямая z₂ параллельна прямой z_{1 ,} но расположена выше ее. Двигая прямую вверх параллельно самой себе , приходим к положению z_max , когда прямая и множество К будут иметь только одну общую точку А. Очевидно, что точка А (x₁ = 200; x₂ = 300 ) оптимальное решение , так как она лежит на прямой с максимально возможным значением z_max. Заметим, что эта точка оказалась крайней точкой множества К.

Пример 2. Задача линейного программирования с семью переменными

x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x₇

имеет m = 5 уравнений – ограничений :

x₁ -- x₂ + x₃ = 4;

2 x₁ -- x₂ -- x₃ -- x₄ = --5 ; (2.4)

x₁ + x₂ -- x₅ = -- 4;

x₂ + x₆ = 5;

2 x₁ -- 2 x₂ -- x₆ + 2 x₇ = 7.

Требуется дать ее геометрическую интерпретацию и построить область допустимых решений ОДР, если она существует.

Решение. Выберем в качестве свободных переменных , например, x₁ и x₂ и выразим через них остальные (базисные) переменные: x_3, x_4, x_5, x_6, x_{7 .} Из первого уравнения имеем :

x₃ = -- x₁ + x₂ + 4 (2.5)

Из третьего

х₅ = x₁ + x₂ + 4.

Из четвертого:

х₆ = -- x₂ + 5. (2.6)

Подставляя (2.5) во второе уравнение(2.3) и (2.6) -- в последнее и разрешая относительно x₄ , x₇ , имеем:

х₄ = 3х₁ -- 2х₂ + 1;

х₇ = --х₁ + ½ х₂ + 6.

Геометрическая интерпретация задачи представлена на рис. 2 ( прямые x₁ = 0, x₂ = 0 – оси координат; остальные ограничивающие прямые x₃ = 0, x₄ = 0, x₅ = 0, x₆ = 0,и x₇ = 0;

короткой штриховкой помечены допустимые полуплоскости -- условия неотрицательности переменных).

Как видно из расположения прямых и отмеченных полуплоскостей, допустимые решения для рассмотренной задачи существуют; они заполняют ОДР, которая на рис .2 показана закрашенной.

Далее найдем оптимальное решение ОЗЛП , обращающее в минимум линейную функцию семи неизвестных :

L = x₁ -- x₂ + 2x₃ -- x₄ -- 3x₅ + x₆ -- 2x₇ ( 2.7)

Выше были указаны условия-ограничения (2.4)., которые были разрешены относительно базисных переменных x_3, x_4, x_5, x_6, x₇, которые были выражены через свободные х₁ и х₂:

x₃ = -- x₁ + x₂ + 4

х₄ = 3х₁ -- 2х₂ + 1;

х₅ = x₁ + x₂ + 4. (2.8)

х₆ = -- x₂ + 5.

х₇ = --х₁ + ½ х₂ + 6.

Подставляя эти выражения в (2.7) и приводя подобные члены , имеем :

L = -- 5x₁ -- 2x₂ -- 12. (2.9)

Воспроизведем область допустимых решений , ранее построенную на рис. 2 (рис.3).

Отбрасывая свободный в (2.9) , имеем:

L* = -- 5x₁ -- 2x_{2 .}

Строим основную прямую L* = 0. Для этого откладываем отрезки γ₂ = -- 2 по оси абсцисс и -- γ₁ = 5 по оси ординат, проводим через точку В с координатами (--2, 5 ) прямую L* = 0 и отмечаем стрелками направление убывания L* . перемещая основную прямую параллельно самой себе в сторону убывания L* , наименьшее значение L* мы получим в точке А (наиболее удаленной от начала координат в направлении стрелок). Координаты этой точки х₁* , х₂* и дают оптимальное решение ОЗЛП. В точке А пересекаются две ограничивающие прямые: х₆ = 0 и х₇ = 0 . Приравнивая нулю выражения для х₆ и х₇ , получим два уравнения:

-- х₂ + 5 = 0

--х₁ + ½ х₂ + 6 = 0

Решая их совместно , найдем х₁* = 8,5; х₂* = 5.

Подставляя эти значения в ( 2.9) , найдем оптимальные значения базисных переменных: х₃* = 0,5; х₄* = 16,5; х₅* = 17,5.

Что касается х₆ и х₇ , то их оптимальные значения равны нулю: х₆* = 0;

Х₇* = 0.

Подставляя найденные оптимальные значения х₁* и х₂* в линейную функцию ( 2.9 ) , найдем минимальное значение (оптимум) линейной функции L:

L = -- 5•8,5 -- 2• 5 -- 12 = --64,5.

Таким образом решаются задачи ОЗЛП в частном случае, когда m = n -- 2 , при помощи геометрического построения.