- •1) Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.
- •2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.
- •3) Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •4) Правила Дифференцирования.
- •Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.
- •7) Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке .
- •8) Экстремум функции
- •Достаточное условие экстремума функции.
- •10) Теорема Вейерштрасса
- •11) Асимптоты (вертикальные, наклонные)графика функции, вывод правила их нахождения.
- •12) Определение комплексных чисел.
- •13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.
- •14) Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа
- •Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.
- •Деление многочленов с остатком.
- •19) Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и её важнейшее следствие.
- •21.Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
- •22.Обобщенная теорема Виета для многочленов n-ой степени
- •23.Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.
- •26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.
- •27.Различные виды уравнения плоскости
- •28.Определение угла между плоскостями. Формула вычисления кос угла между плоскостями с выводом
- •29.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •30.Взаимное расположение прямой и плоскости
- •31.Вычисление координат точки пересечения прямой с плоскостью
- •32.Определение расстояния от точки до плоскости
- •33.Уравнение сферы…
16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа
Определение. Пусть – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .
Извлечение корня из комплексного числа
Таким образом, равенство:
равносильно равенству
rn(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)
Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.
rn = r, ny = j + 2kp,
откуда
где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:
-
(16)
т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня. В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:
-
k = 0, 1, 2, ..., (n-1)
(17)
Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k1 и k = k2 тогда, когда аргументы и отличаются не кратным2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p. Но разность (k1 - k2) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность
не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня. Пусть теперь k2 - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:
k2 = qn + k1
где q - целое число и k1 - любое число из ряда (17), а потому
,
т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.
Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
Корни пятой степени из единицы(вершины пятиугольника)
Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
zn = [r(cos φ + isin φ)]n = rn(cos nφ + isin nφ),
где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
z1 / n = [r(cos(φ + 2πk) + isin(φ + 2πk))]1 / n =
Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. Рисунок).