- •1) Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.
- •2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.
- •3) Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •4) Правила Дифференцирования.
- •Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.
- •7) Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке .
- •8) Экстремум функции
- •Достаточное условие экстремума функции.
- •10) Теорема Вейерштрасса
- •11) Асимптоты (вертикальные, наклонные)графика функции, вывод правила их нахождения.
- •12) Определение комплексных чисел.
- •13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.
- •14) Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа
- •Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.
- •Деление многочленов с остатком.
- •19) Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и её важнейшее следствие.
- •21.Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
- •22.Обобщенная теорема Виета для многочленов n-ой степени
- •23.Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.
- •26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.
- •27.Различные виды уравнения плоскости
- •28.Определение угла между плоскостями. Формула вычисления кос угла между плоскостями с выводом
- •29.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •30.Взаимное расположение прямой и плоскости
- •31.Вычисление координат точки пересечения прямой с плоскостью
- •32.Определение расстояния от точки до плоскости
- •33.Уравнение сферы…
11) Асимптоты (вертикальные, наклонные)графика функции, вывод правила их нахождения.
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
1.
2.
Наклонная пример.
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!
Порядок нахождения асимптот
Нахождение вертикальных асимптот.
Нахождение двух пределов
Нахождение двух пределов :
если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .
12) Определение комплексных чисел.
Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy, где x и y — вещественные числа, i— мнимая единица
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры).
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z2 + 1.
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
Сопряжённые комплексные числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если комплексное число z = x + iy, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: , где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.
Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа .
Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.
Для любых имеют место следующие свойства модуля. :
1) , причём тогда и только тогда, когда ;;
2) (неравенство треугольника);
3) ;
4) .
Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .
5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 − z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .
Из этого определения следует, что ; ; .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: