26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.

Пусть даны два вектора   и  , угол между, которыми равен  .

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается  . Итак,  .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

3. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов   и    .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

4. Для любого числа λ и любых векторов   имеем:

.

Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами   и   совпадает с углом между векторами   и  ,  .

Поэтому  . Откуда 

Аналогично доказывается и равенство  .

Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

5. Для любых векторов   выполняется равенство  .

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

6. Для любого вектора   выполняется соотношение .

Действительно, так как  , то  .

Из этого свойства в частности следует  .

7. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. A*B=x1*x2+y1*y2+z1*z2

Скалярное произведение двух векторов   и   заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле 

Если векторы a и b ненулевые, то косинус угла между этими векторами равен

Пользуясь формулой скалярного произведения, мы можем выразить косинус угла между векторами: 

В координатной записи эта формула будет выглядеть так: 

Признак перпендикулярности ненулевых векторов - Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

27.Различные виды уравнения плоскости

28.Определение угла между плоскостями. Формула вычисления кос угла между плоскостями с выводом

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. Доказывается, что этот угол не зависит от выбора такой плоскости. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

29.Различные виды уравнений прямой в пространстве

1)векторно -параметрическое:  r=ro+at  2)параметрические:  x=xo+a1t  y=yo+a2t  z=zo+a3t  3)каноническое  (x-xo)/a1=(y-yo)/a2=(z-zo)/a3  4)уравнение прямой, проходящей через 2 указанные точки:  (x-x1)\(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)  5)прямая как пересечение двух плоскостей:  A1x+B1y+C1z+D1=0  A2x+B2y+C2z+D2=0

Вычисление величины угла между прямыми

Пусть прямые   и   заданы общими уравнениями 

и

Обозначим через φ величину угла между прямыми   и   (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами   и   этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство   Из теоремы 11.10 следует, что

и, следовательно, 

Записав через координаты, получим 

Определение угла между прямыми

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁)и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле: