13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.

14) Геометрическая интерпретация комплексного числа

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу    сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектораточки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Некоторые планиметрические утверждения (например, теорема Клиффорда), допускают только доказательство при помощи счёта в комплексных координатах.

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy-мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

 

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

   

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на     , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем       называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i*sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁+ θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

   

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

         (1)

Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел

Пусть векторы ОМ и ОМ' (фиг. 7) изображают комплексные числа z = x + yi и z'=x' + y'i. Из точки M проведем вектор МК, равный ОМ' (т. е. имеет ту же длину и то же направление, что ОМ'). Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел*. Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой (или, короче, суммой) векторов OM и ОМ' (название «сумма» проистекает из того, что совершенно таким же образом складываются скорости движущихся тел, силы, приложенные к одной точке, и многие другие физические величины). Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые. Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разности длин ОМ и МК. Поэтому

Равенство имеет место только в тех случаях, когда векторы OM и OM' имеют одинаковые (фиг. 8) или противоположные направления (фиг. 9). В первом случае |OM|+|OM'|=|OK|, т.е. |z + z'| = |z| + |z'|. Во втором |z| + |z'| = ||z| - |z'||. Пример 1. Пусть z=4+3i; z'= 5+12i. Тогда   Имеем 13 – 5 <   <13 + 5, т.е. 8 <   < 18. Пример 2. Пусть z = 4 + 3i; z' = 8 + 6i. Эти комплексные числа имеют один и тот же аргумент (36˚52'), т. е. соответствующие векторы имеют одинаковые направления. Здесь |z| = 5; |z'|=10; z + z'= 12 +9i; Имеем 10 – 5 < 15 = 10 + 5. Пример 3. Пусть z = 8 – 6i; z' = - 12 + 9i. Эти комплексные числа изображаются векторами, имеющими противоположные направления (их аргументы равны 323˚08' и 143˚08'). Здесь

|z| = 10; |z'| = 15; z + z' = -4 + 3i; |z + z'| = 5.

15 – 10 = 5 <15 + 10.

Сумма трех (и большего числа) комплексных чисел также представляется суммой векторов (ОМ, ОМ', ОМ" на фиг. 10), изображающих отдельные слагаемые, т. е. вектором ОК, замыкающим ломаную OMSK (вектор MS paвен вектору ОМ', вектор SK - вектору ОМ"). Слагаемые можно брать в любом порядке; ломаные будут различные, но концы их совпадут. Так как ОК не длиннее, чем ломаная OMSK, то

Равенство имеет место только тогда, когда все слагаемые имеют одно и то же направление. Разность между комплексными числами a + bi и а' + b'i сумме чисел a + bi и - а' - b'i. Второе слагаемое имеет тот же модуль, что а'+b'i, но противоположное направление. Поэтому разность комплексных чисел, представляемых векторами ОМ и ОМ' (фиг. 11), изображается суммой векторов ОМ и ОМ" (вектором ОТ).

15) Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Геометрический смысл умножение комплексных чисел. Возведение комплексного числа в n-ю степень. Формула Муавра.