Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математика.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
28.04.2019
Размер:
3.86 Mб
Скачать

1) Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.

Функция    имеет предел    в точке   , предельной для области определения функции   , если для каждой окрестности предела    существует проколотая окрестность точки   , образ которой при отображении    является подмножеством заданной окрестности точки   .

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел частного равен частному пределов.

2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция   Производной функции называется такое число   , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah o(h), если   существует.

Определение через предел:

Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Если функция   имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейно йфункцией

Функция fl называется касательной к в точке x0. Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Физический смысл производной. Скорость изменения функции

Пусть s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) =s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражаетмгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью f(x).

Вы ведем уравнение касательной.

Y= kx+b

k=tgA(альфа) k=tgA=f'(x0)

Смотрим на картинку.

(x0;f(x0))-принадлежит прямой

f(x0)=f'(x0)x0+b =>b=f(x0)-f'(x0)x0

Таким образом...

y=f'(x0)x+f(x0)-f'(x0)x0

y=f'(x0)+f'(x0)(x-x0) – уравнение касательной к графику f(x) в точке x.

3) Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

4) Правила Дифференцирования.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если С— постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующиеправила дифференцирования:

  • C' = 0

  • x' = 1

  •  (g≠0)

  •  (g≠0)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.