2.4. Приклади розв’язування задач

1. З одного і того самого місця почали рівноприскорено рухатися в одному напрямку дві точки, причому друга почала свій рух через 2 с після першої. Перша точка рухалася з початковою швидкістю і прискоренням друга – з початковою швидкістю і прискоренням . Коли і де зустрінуться точки?

Розв’язування

Шлях, пройдений обома точками до зустрічі

дорівнює:

Враховуючи це, отримаємо рівняння:

Розв’язок цього рівняння дає два значення: і Підставляючи ці значення t в формулу шляху , знаходимо: і . Точки зустрінуться двічі в певний час і , пройшовши шлях і .

2. По дузі кола радіуса рухається точка. У деякий момент часу нормальне прискорення точки ; вектор повного приско-рення утворює в цей момент з вектором нормального прискорення кут . Знайти швидкість і тангенціальне прискорення точки.

Розв’язування

III. Кінематика обертального руху

Рух абсолютно твердого тіла називають обертальним, якщо всі його точки, рухаючись в паралельних площинах, описують кола з центрами на одній нерухомій прямій, яку називають віссю обертання (пряма АВ на рис.3.1).

Всі точки, що лежать на осі обер-тання, є нерухомими. Рух тіла, що має одну нерухому точку, називають обертанням тіла навколо нерухомої точки – центра обертання. Такий рух у кожен момент часу можна розглядати як обертання тіла навко-ло деякої осі, що проходить через центр обертання і називається миттєвою віссю обертання. Положення миттєвої осі відно-сно обраної системи відліку й самого тіла з часом може змінюватися. Однак загальні закономірності обертального руху навколо Рис. 3.1 нерухомої та миттєвої осей однакові.

При поступальному русі тіла всі його точки рухаються однаково, при обертальному – неоднаково, і швидкість будь-якої точки тіла не може бути кінематичною характеристикою руху всього тіла. Такою характеристи-кою може слугувати кут повороту. Якщо в момент часу тіло перебувало в положенні 1, а у момент часу – у положенні II, то за час тіло повернулося на кут . При обертанні тіла навколо закріпленої осі тіло має один ступінь вільності, і за-кон руху його задається рівнянням:

(3.1)

а при обертанні навколо миттєвої осі тіло має три ступені вільності (кути , і ), і закон руху задається рівняннями:

(3.2)

Тут – кут повороту тіла відносно осі, і – кути, що характеризують положення осі обертання в просторі.

Відношення кута повороту до часу цього повороту за кінцевий про-міжок часу називають середньою кутовою швидкістю, а за нескінченно малий проміжок часу – миттєвою або просто кутовою швидкістю:

(3.3)

Напрямок вектора вуказує напрямок обертання й визначається за правилом правого гвинта відносно осі обертання.

Розмірність кутової швидкості в системі СІ

Час повного повороту тіла на кут радіан називають періодом обер-тання Т , що зв'язаний зі швидкістю співвідношенням:

і (3.4)

Величина, зворотна періоду, дорівнює числу обертів за одиницю часу:

(3.5)

Якщо за час тіло повертається на кут , то точка М цього тіла

(рис. 3.1) описує шлях :

Лінійна швидкість точки дорівнює:

(3.6)

Швидкість спрямована по дотичній до кола, і . Відповідно до правил векторного множення: , , де – кут між векторами і , вектор і , і спрямований за правилом правого гвинта при обертанні останнього найкоротшим шляхом від першо-го співмножника до другого.

Оскільки кут між векторами і дорівнює 90°, то лінійна швидкість точки може бути виражена векторним добутком:

. (3.7)

При нерівномірному обертанні тіла кутове прискорення характе-ризує зміну швидкості обертання в часі; знайдемо його за рівнянням:

(3.8)

Розмірність кутового прискорення в системі СІ:

Знайдемо співвідношення між кутовим прискоренням і лінійним прискоренням точки М:

(3.9)

Складова прискорення

(3.10)

є тангенціальним прискоренням, а

(3.11)

є нормальним прискоренням точки М.

За рівняннями (3.11) і (3.7) знайдемо вираз для модуля нормального прискорення:

(3.12)

Задача

Диск радіусом , що перебував у стані спокою, почав обер- татися з постійним кутовим прискоренням . Які були танген- ціальне , нормальне і повне прискорення точок на краю диска на-

прикінці другої секунди після початку обертання?

Розв’язування

Векторна схема прискорень повернута на 90°.