- •Фізичні основи механіки
- •I. Попередні поняття. Загальні положення
- •II. Кінематика поступального руху
- •2.1. Задання положення матеріальної точки в просторі
- •2.2. Швидкість матеріальної точки
- •2.3. Прискорення матеріальної точки
- •2.4. Приклади розв’язування задач
- •III. Кінематика обертального руху
- •IV. Динаміка поступального руху
- •4.1. Класична механіка. Межі її застосування
- •4.2. Поняття сили. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку
- •4.3. Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона
- •4.4. Третій закон Ньютона
- •4.5. Принцип відносності Галілея
- •4.6. Закон збереження імпульсу замкненої системи тіл
- •4.7. Реактивний рух
- •4.8. Приклад розв’язування задач
- •V. Енергія й робота
- •1. Енергія, робота і потужність
- •5.2. Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії
- •5.3. Зіткнення двох тіл
- •5.4. Приклад розв’язування задач
- •VI. Неінерціальні системи відліку
- •6.1. Рух тіл відносно неінерціальних систем відліку. Сили інерції
- •6.2. Приклад розв’язування задач
- •VII. Динаміка обертального руху
- •7.1. Момент сили й пари сил відносно точки
- •7.2. Момент сили відносно осі
- •7.3. Момент імпульсу матеріальної точки
- •7.4. Закон збереження моменту імпульсу
- •7.5. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •7.6. Вільні осі. Головні осі інерції. Моменти інерції різних тіл
- •7 .7. Тензор інерції
- •7.8. Кінетична енергія обертального руху тіла
- •7.9. Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
- •7.10. Приклади розв’язування задач
- •VIII. Всесвітнє тяжіння
- •8.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •8.2. Поле тяжіння
- •8.3. Маса інерційна та маса гравітаційна
- •8.4. Космічні швидкості
- •8.5. Приклади розв’язування задач
- •Примітки
- •Література
7.10. Приклади розв’язування задач
1. Однорідний тонкий важкий стержень довжини висить на горизонтальній осі, що проходить через один з його кінців. Яку початкову кутову швидкість треба надати стержню, щоб він повернувся на кут 90° у разі повної зупинки?
Розв’язування
При повороті на 90° центр маси стержня підніме-ться на висоту . При цьому, згідно з зако-ном збереження енергії, вся кінетична енергія обертання стержня витратиться на зміну його потенціальної енергії: .
Із цього рівняння знаходимо:
2. На краю горизонтального диска, що вільно обертається і має радіус R і момент інерції , закріплена матеріальна точка m. Як зміниться швидкість обертання та кінетична енергія системи, якщо мате-ріальну точку m перемістити до центра диска?
Розв’язування
Згідно з законом збереження моменту імпульсу знаходимо: .Оскільки , то, з урахуванням теореми Штейнера знахо-димо: і
тобто швидкість обертання збільшиться в разів. Кінетична енергія системи до переміщення маси т до центра диска дорівнює
, а після переміщення – . З урахуванням зміни швидкостей знаходимо: , тобто кінетична енергія системи збільшується в разів.
VIII. Всесвітнє тяжіння
8.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
У результаті узагальнення численних спостережень, експерименталь-них і теоретичних досліджень (як своїх власних, так й інших дослідників) І.Ньютон в 1687 р. сформулював закон всесвітнього тяжіння: „Кожні дві матеріальні частинки притягують одна іншу із силою , прямо пропор-ційною добутку їх мас , і і обернено пропорційною квадрату відс-тані між ними:
(8.1)
Сила спрямована уздовж прямої, що з'єднує центри цих частинок. Згідно з цим законом усі матеріальні тіла притягають одне одного, причому вели-чина сили притягання не залежить від фізичних і хімічних властивостей тіл, від стану їхнього руху, від властивостей середовища, де перебувають тіла. На Землі тяжіння проявляється, насамперед, в існуванні сили ваги, що є результатом притягання будь-якого матеріального тіла Землею. Із цим пов'язаний термін „гравітація”, еквівалентний терміну „тяжіння” (від ла-тинського gravitas - вага).
У векторній формі закон всесвітнього тяжіння записується в такий спосіб:
(8.2)
Тут – сила, що діє на першу частинку з боку другої; – одиничний вектор, спрямований вздовж радіуса – вектора , тобто від першої частки до другої (рис.8.1) – його часто позначають символом ;
– стала тяжіння або гравітаційна стала, .
Очевидно, що сила , з якою перша частинка діє на другу, буде спрямо-вана протилежно до радіуса-вектора
(8.3)
Закон всесвітнього тяжіння сформульований Ньютоном, строго кажу-чи, для точкових мас. Та виявилося, що сила взаємодії між двома частин-ками не залежить від наявності третьої частинки. Це означає, що якщо взає-модіють між собою N частинок, то сила , з якою діють на одну із части-нок з масою всі інші частинки з масами тк , дорівнює векторній сумі сил, з якими всі N – 1 частинок діють на одну із N:
(8.4)
Тут – радіуси-вектори, що з'єднують частинку з масою mi з усіма іншими частинками.
Рис.8.1 Рис.8.2
Отриманий результат називають законом адитивності. Він дає змогу засто-сувати закон всесвітнього тяжіння для знаходження сили взаємодії між двома тілами довільних розмірів і форми.
Для цього необхідно умовно розбити ці тіла на велику кількість і настільки малих частинок з масами й (рис. 8.2), щоб кожну з них можна було вважати матеріальною точкою. Тоді частинка при-тягується частинкою Δmk із силою: .
Сила з якою все друге тіло діє на одну частинку Δmi першого тіла, відповідно до закону адитивності, буде дорівнювати:
а сила , з якою перше тіло діє на друге дорівнює:
(8.5)
Вивчення руху тіл відносно поверхні Землі показує, що сила тяжіння викликає два види руху: по-перше, тіло, позбавлене опори, падає на Землю; по-друге, воно бере участь у добовому обертанні Землі, внаслідок чого на нього діє відцентрова сила , оскільки система відліку, пов'язана із Землею, для такого тіла є неінерці-
Рис.8.3 альною.
Отже, на таке тіло діє сумарна сила , що складається із сили тяжін-ня і відцентрової сили (рис.8.3):
(8.6)
де – відстань від центра Землі до тіла. Силу називають силою ваги, а прискорення тіла під дією цієї сили – прискоренням вільного падіння. Від-повідно до другого закону Ньютона прискорення вільного падіння дорів-нює:
. (8.7)
Оскільки відцентрова сила залежить від географічної широти місця розта-шування тіла відносно Землі, то очевидно, що й прискорення вільного па-діння залежить від географічної широти. Розглянемо цю залежність для двох випадків: падіння тіла на полюс і на екватор Землі.
Величина відцентрової сили дорівнює:
.
Якщо тіло падає на полюс Землі, то для нього = 0 і сила ваги дорів-нює силі тяжіння , а прискорення :
. (8.8)
Тут – відстань від центра Землі до тіла.
Якщо тіло падає на екватор, то сила ваги , що діє на це тіло, дорів-нює:
. (8.9)
Тут – відстань від центра Землі до тіла; – маса Землі; – відстань від центра Землі до полюса; – відстань від центра до точок на екваторі.
Якщо тіло перебуває на невеликій висоті від поверхні Землі (тобто ) то величина приблизно дорівнює 0,00345, тобто, від-центрова сила становить 0,345% від сили тяжіння. Тому в першому наближенні приймають, що сила ваги дорівнює силі тяжіння й спря-мована до центра Землі, а прискорення вільного падіння дорівнює:
, (8.10)
де – радіус-вектор, що визначає положення падаючого тіла відносно центра Землі.
Із цього рівняння (а також з досвіду) випливає, що прискорення віль-ного падіння не залежить від маси, розмірів й інших властивостей тіла, а залежить від відстані між цим тілом і поверхнею Землі. Розглянемо цю залежність. Позначимо – прискорення тіла біля самої поверхні Землі, а – прискорення тіла, що перебуває на висоті від поверхні Землі. Відношення цих прискорень буде:
(8.11)
За малих висот , тобто при , величина дуже мала і її можна не враховувати. Тоді . (8.12)
На підставі рівняння (8.12) знаходимо, що у разі підняття тіла на висо-ту =1км прискорення вільного падіння тіла зменшується на 0,03%, тобто зменшення мало відчутне. Тому з деяким наближенням у разі розташування тіл на невеликих висотах приймають, що прискорення вільного падіння тіла можна виразити через радіус Землі:
(8.13)
Некулястість форми Землі ( ) і вплив добового обертання (виникнення відцентрової сили) призводить до того, що прискорення сили ваги залежить від географічної широти місця й змінюється від 9,83 м/с2 на полюсах до 9,78 м/с2 на екваторі. На широті 45° воно дорівнює 9,80665м/с2. У приблизних розрахунках приймають =9,8 м/с2.
При відносно точних розрахунках ураховується положення тіла відносно центра Землі.