8.3. Маса інерційна та маса гравітаційна

Маса – це фізична характеристика матеріальних об’єктів, яка є мірою і інерційних і гравітаційних властивостей. Виразником інерційних власти-востей тіла маса виступає в законах динаміки, як у рівняннях класич-ної, так і в рівняннях релятивістської механіки. Виразником гравітаційних властивостей самого тіла маса входить у закон тяжіння.

Фізичний закон всесвітнього тяжіння, сформульований Ньютоном (див. рівняння (8.1)), полягає в тому ,що сила гравітаційної взаємодії тіл пропорційна добутку їх інерційних, а не гравітаційних мас. Отже, інерційна маса тіла пропорційна його гравітаційній масі. Одиниці виміру цих мас можна вибрати таким чином, щоб вони були не лише пропорційними, але й кількісно однаковими між собою, що і приймається сучасною фізикою, і використовується загальне поняття маси. Еквівалентність гравітаційної та інерційних мас є основою загальної теорії відносності.

Закон еквівалентності інерційної та гравітаційної мас є узагальненням результатів великої кількості різних дослідів. Розглянемо деякі з них.

1. Відносно інерціальної системи відліку сила гравітаційної взаємодії згідно з другим законом Ньютона За природою ця сила Згідно з другим законом Ньютона в гравітаційному полі Землі звідки:

(8.27)

Дослідним шляхом Галілей виявив, що в одному і тому самому гравіта-ційному полі тіла при вільному падінні набирають однакового прискорення, тобто На підставі рівняння (8.27) маємо, що Досліди Галілея мали невелику точність.

2. Більш досконалими були досліди Ньютона, а потім німецького фізика Ф. Бесселя з математичним маятником. Якби інерційна і гравітаційна маси були різними, то в формулі для періоду гармонічних коливань матема-тичного маятника

(8.28)

прискорення варто було б замінити на прискорення (див. (8.28)). Тоді отримали б

(8.29)

Лише за умови, що формула (8.29) переходить в формулу (8.28). Ньютон і Бессель довели, що період коливань математичного маятника не залежить від природи матеріалу, з якого виготовлено маятник. Це підтверд-жує закон рівності між інерційною та гравітаційною масами. Відносна похибка в дослідах Бесселя досягла 1/60000.

3. Рекордними за точністю довгий час були досліди угорського фізика Л. Етвеша з використанням крутильних ваг та гравітаційних варіометрів. Він довів рівність гравітаційної та інерційної мас з відносною похибкою (див. [4]).

В подальшому американський фізик Р. Дікке, удосконаливши досліди Етвеша, досяг відносної похибки

4. Досліди з радіоактивними речовинами на підставі зв’язку між енергією та масою підтверджують закон еквівалентності гравітаційної та інерційної мас.

8.4. Космічні швидкості

Космічні швидкості – це характерні швидкості руху тіла в гравітацій-ному полі.

Перша з них – це швидкість, яку потрібно надати тілу, щоб воно стало супутником Землі. Числове значення першої космічної швидкості визна-чається з умови, що сила тяжіння дорівнює доцентровій силі де – це маса тіла, – радіус землі. З цієї умови перша космічна швидкість супутника, який рухається по коловій орбіті поблизу земної поверхні

(8.30)

Прийнявши = 6370∙10³м, = 9.8 м/с² [2] знаходимо:

Друга космічна швидкість необхідна тілу для того ,щоб воно вийшло із сфери земного тяжіння (стало супутником Сонця). Її значення знаходять з умови, що набута тілом на поверхні Землі кінетична енергія дорівнює роботі проти гравітаційних сил де – гравітаційна стала; – Маса Землі.

Отже:

(8.31)

Третя космічна швидкість дає можливість тілу, запущеному з поверх-ні Землі, подолати силу притягання і Землі і Сонця. Розглядаючи рух Землі і тіла в гравітаційному полі Сонця, знайдемо швидкість руху Землі з тілом навколо Сонця:

(8.32)

Для того, щоб тіло могло вийти із сфери сонячного тяжіння, воно повинно мати швидкість відносно Сонця

(8.33)

У рівняннях (8.32) та (8.33) = 1.98∙1030кг – маса Сонця,

= 1.49∙10¹¹м – відстань від центра Землі до центра Сонця [4].

Якби на тіло не діяла сила зовнішнього притягання, то йому достатньо було б надати відносно Землі швидкість в напрямі її руху

(8.34)

щоб воно могло вилетіти за межі Сонячної системи. Насправді для цього необхідна більша швидкість, оскільки тіло мусить подолати дію земного притягання.

Числове значення третьої космічної швидкості залежить від напрямку запуску тіла: мінімальна – 17 км/с, а максимальна – 73 км/с [6].