- •Фізичні основи механіки
- •I. Попередні поняття. Загальні положення
- •II. Кінематика поступального руху
- •2.1. Задання положення матеріальної точки в просторі
- •2.2. Швидкість матеріальної точки
- •2.3. Прискорення матеріальної точки
- •2.4. Приклади розв’язування задач
- •III. Кінематика обертального руху
- •IV. Динаміка поступального руху
- •4.1. Класична механіка. Межі її застосування
- •4.2. Поняття сили. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку
- •4.3. Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона
- •4.4. Третій закон Ньютона
- •4.5. Принцип відносності Галілея
- •4.6. Закон збереження імпульсу замкненої системи тіл
- •4.7. Реактивний рух
- •4.8. Приклад розв’язування задач
- •V. Енергія й робота
- •1. Енергія, робота і потужність
- •5.2. Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії
- •5.3. Зіткнення двох тіл
- •5.4. Приклад розв’язування задач
- •VI. Неінерціальні системи відліку
- •6.1. Рух тіл відносно неінерціальних систем відліку. Сили інерції
- •6.2. Приклад розв’язування задач
- •VII. Динаміка обертального руху
- •7.1. Момент сили й пари сил відносно точки
- •7.2. Момент сили відносно осі
- •7.3. Момент імпульсу матеріальної точки
- •7.4. Закон збереження моменту імпульсу
- •7.5. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •7.6. Вільні осі. Головні осі інерції. Моменти інерції різних тіл
- •7 .7. Тензор інерції
- •7.8. Кінетична енергія обертального руху тіла
- •7.9. Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
- •7.10. Приклади розв’язування задач
- •VIII. Всесвітнє тяжіння
- •8.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •8.2. Поле тяжіння
- •8.3. Маса інерційна та маса гравітаційна
- •8.4. Космічні швидкості
- •8.5. Приклади розв’язування задач
- •Примітки
- •Література
2.3. Прискорення матеріальної точки
Якщо швидкість точки змінюється за величиною чи за напрямком, або за величиною і за напрямком, то для характеристики такого руху вводять поняття прискорення.
Розглянемо загальний випадок зміни швидкості. Якщо в момент часу швидкість точки була , а в момент часу вона стала (рис. 2.4), то величину:
(2.17)
називають середнім прискоренням точки за час . Прискорення в будь-яку мить часу виражається (подібно миттєвій швидкості) рівнянням:
(2.18)
Проаналізуємо, як впливає на прискорення одночасна зміна швид-кості за величиною та за напрямком. Перенесемо вектор паралельно самому собі із точки А в точку В. Уздовж вектора відкладемо модуль вектора і проведемо вектор . З рис. 2.4 видно, що зміна швидкості буде .
Рис. 2.4
Згідно з рівнянням (2.18) прискорення дорівнює:
(2.19)
За нескінченно малого проміжку часу точки А і В будуть розта-шовані нескінченно близько, кути ОВА і ВСd будуть прямувати до , тобто вектор буде перпендикулярний до вектора , а трикутники ОВА і ВСd – подібні. З подібності трикутників знаходимо, що Тоді складова прискорення, що залежить від , дорівнює
(2.20)
Оскільки вектор спрямований перпендикулярно до вектора , то складову прискорення називають нормальним прискоренням. Вектор паралельний , тобто спрямований по радіусу до центра кривизни траєкторії. Якщо рух прямолінійний, то радіус кривизни і . Складова прискорення
(2.21)
спрямована по дотичній до траєкторії, тому її називають тангенціальним прискоренням . Повне прискорення при криволінійному русі і його модуль дорівнюють:
(2.22)
Розмірність прискорення в системі СІ
Складові прискорення вздовж координатних осей можна виразити через складові швидкості:
(2.23)
Прискорення та його модуль можна виразити через складові:
(2.24)
За рівняннями (2.18) і (2.23) можна вирішити зворотню задачу:
(2.25)
Якщо до початку відліку часу точка рухалась з сталою швидкістю , а потім з прискоренням , то:
(2.26)
Оскільки і , то прискорення і його проекції на координат-ні осі можна виразити рівнянями:
(2.27)
За рівняннями для швидкості і прискорення можна знайти переміщення точки , шлях і координати точки в будь-який момент часу :
(2.28)
Підставляємо в останнє рівняння і знаходимо:
(2.29)
Якщо до початку відліку часу точка рухалась зі швидкістю і пройшла шлях і відповідне їй переміщення , то в будь-який момент часу переміщення, шлях і координати можна вирахувати за рівнянями:
(2.30)