Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)

Если точка - внутренняя точка области определения функции и , тогда, если , то в точке строгий минимум, и если , то в точке строгий максимум.

Доказательство:

Пусть . Т.к. , то - строго возрастает в точке , и т.к. , то при переходе через точку она меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.

§7.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Пусть определена и непрерывна на , тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она принимает на этом промежутке наибольшее наименьшее значения в какой-то точке. Эта точка может быть либо на границе промежутка, либо внутри. В последнем случае в этой точке будет экстремум и следовательно эта точка попадет в число подозрительных на экстремум. Таким образом, для нахождения наибольших и наименьших значений функции можно вычислить значения на концах промежутка, в точках экстремума и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Если исследование на экстремум затруднительно, то можно вычислить значение функции в точках подозрительных на экстремум и на концах промежутка.

Замечание (для любых промежутков ). Если известно, что внутри промежутка достигается наибольшее (наименьшее) значение функции и внутри промежутка всего одна точка подозрительная на экстремум, то это и будет точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример. Дан квадрат со стороной . Какие нужно сделать вырезы, чтобы объем коробки был максимальным?

Т.к. точка подозрительной точкой на экстремум не является, т.к. она на конце промежутка, то единственная подозрительная на экстремум точка -точка максимума.

§7.4. Направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

Рассмотрим функцию , для которой - внутренняя точка области определения функции, причем (эти предположения будем считать выполненными везде в данном параграфе). Тогда существует касательная в точке и уравнение касательной имеет вид:

Определение 1. Если такая, что точки графика при лежат в верхней (нижней) полуплоскости, то говорят, что в точке график направлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны от точки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны лежат в нижней полуплоскости, то график имеет перегиб.

Введем вспомогательную функцию:

Определение2. График функции направлен в точке вогнутостью вверх, если функция имеет в точке минимум; график функции направлен в точке вогнутостью вниз, если функция имеет в точке максимум; и в точке перегиб графика, если монотонна.

Лекция №14.

Теорема 1 (первый достаточный признак направления вогнутости).

Пусть функция строго возрастает в точке . Тогда в точке функция направлена вогнутостью строго вверх. Если же функция в точке строго убывает, то в точке график направлен вогнутостью вниз.

Теорема 2 (второй достаточный признак направления вогнутости).

Если , то в точке график направлен вогнутостью вверх, если же , то в точке график направлен вогнутостью вниз.

Теорема 3 (необходимый признак точки перегиба).

Если в точке перегиб графика функции , то либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство:

Возможны два случая: либо не существует, либо существует. Если существует, то невозможно, т.к. по теореме 2 график в точке будет направлен либо вогнутостью вверх, либо вогнутостью вниз, а это противоречит тому, что в точке перегиб.

Теорема 4 (достаточный признак точки перегиба).

Если непрерывна в точке ; или не существует, то если при переходе через точку меняет знак, то в точке перегиб графика функции .

Пример:

Использование производных высших порядков при исследовании функций.

Теорема.

Пусть - внутренняя точка области определения функции. Пусть выполнено следующее условие: , а и конечна, тогда:

а) если - нечетное число, то в точке экстремума нет, т.е. функция строго возрастает при и строго убывает при . При этом в точке перегиб графика функции;

б) если - четное число, то в точке есть экстремум: