1. Наиболее мощные критерии различения двух простых гипотез о среднем значении гауссовской случайной величины при неизвестной дисперсии.

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки  .

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые и нормальные;

• значения дисперсий   известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза   (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

имеет стандартное Нормальное распределение  , где

 — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости  ):

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

где   есть  -квантиль стандартного нормального распределения.

2. Доверительные интервалы для математического ожидания нормального распределения.

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Определение

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%, порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами l(x₁,…,x_n) и u(x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.

Случай известной дисперсии

Пусть   — независимая выборка из нормального распределения, где σ² — известная дисперсия. Определим произвольное   и построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ.

Утверждение. Случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1). Пусть z_α — α-процентиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для Z и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть   — независимая выборка из нормального распределения, где μ,σ² — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ.

Утверждение. Случайная величина

,

где S — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с n − 1 степенями свободы t(n − 1). Пусть t_{α,n − 1} — α-процентиль этого распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

.

После подстановки выражения для T и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 9