1.Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией.

Обозначим через n объем выборки, по которой найдена исправленная дисперсия S^2.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии гипотетическому(предполагаемому) значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по табл критических точек распределения по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы κ=n-1 найти критическую точку . Если < -нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если > -нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2.при конкурирующей гипотезе находят левую и правую критические точки. Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если или > – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку . если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если –нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если число степеней свободы К>30,то критическую точку ) можно найти из равенства Уилсона-Гильферти:

)=κ{1-2/9κ+ }^3

,где находят, используя функцию Лапласа из равенства:

Ф( )=(1-2α)/2.

2.Сравнение средних двух гауссовских зависимых выборок.

Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Из этих совокупностей извлечены зависимые выборки одинакового объема n, варианты которых соответственно равны . Введем следующие обозначения:

-разности вариант с одинаковыми номерами,

d= - средняя разностей вариант с одинаковыми номерами,

-«исправленное» среднее квадратичное отклонение.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве 2х средних нормальных совокупностей Х и У с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

И по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы κ=n-1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Билет №14

1. Критерий

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова — Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.

Критерий Колмогорова — Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область. Если α достаточно близко к 1, то можно приблизительно рассчитать по формуле:

Асимптотическая мощность критерия равна 1.

Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины

Теорема Смирнова.

Пусть — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом n и m случайной величины ξ. Тогда, если , то , где

Статистика

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид: где указывает, попало ли наблюдение Xi в область :

Статистика критерия для эмпирической функции распределения определяется следующим образом:

где — точная верхняя грань множества , F - предполагаемая модель.

Теорема Колмогорова

Пусть — бесконечная выборка из распределения, задаваемого непрерывной функцией распределения F. Пусть — выборочная функция распределения, построенная на первых n элементах выборки. Тогда по распределению при , где K — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок

Правило (непараметрический критерий Колмогорова).

Если статистика превышает квантиль распределения Колмогорова заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне .