2. Доверительные интервалы для дисперсии нормального распределения.

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Определение

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%, порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами l(x₁,…,x_n) и u(x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.

Случай известного среднего

Пусть   — независимая выборка из нормального распределения, где μ — известное среднее. Определим произвольное   и построим α — доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ².

Утверждение. Случайная величина

имеет распределение χ²(n). Пусть   — α-процентиль этого распределения. Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестного среднего

Пусть   — независимая выборка из нормального распределения, где μ, σ² — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ².

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

,

где S² — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение χ²(n − 1). Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 4

1. Критерий проверки значимости линейной регрессии (два подхода).

Проверка статистической значимости коэффициентов линейной регрессии заключается в проверке гипотезы значимости или незначимости отличия оценок некоторыхрегрессионных коэффициентов от нуля. Если в результате проверки оказывается, что отличие оценок каких-то регрессионных коэффициентов от нуля не влияет на качество модели, то соответствующие предикторные переменные можно исключить из регрессионной модели.

Обозначения

Введем обозначения:

 - набор   предикторных переменных

 - коэффициенты линейной регрессии.

 – зависимая переменная (отклик)

Модель линейной регрессии имеет вид:

(1)

Пусть  .Введём дополнительные обозначения:

Тогда  .

Тогда  .

Проверка значимости коэффициентов

Коэффициент линейной регрессии считается значимым, если его МНК-оценка отлична от нуля.

Опишем критерий Фишера проверки значимости коэффициентов линейной регрессии.

Нулевая гипотеза  .

Нулевая гипотеза утверждает, что отклик   не зависит от предикторных переменных  .

Статистика критерия:

имеет имеет распределение Фишера с   и   степенями свободы. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе  .

Критерий (при уровне значимости  ) против альтернативы  :

если  , то нулевая гипотеза   отвергается в пользу альтернативы  ;

если  , то принимаем нулевую гипотезу  ;

где   есть  -квантиль распределения Фишера с   и   степенями свободы.