1. Лемма Неймана — Пирсона. Наиболее мощные критерии

Пусть   - выборка (набор независимых, одинаково распределенных величин), и имеются две гипотезы о распределении  :

 

 

Предполагается, что распределения  ,   либо оба дискретны, либо оба абсолютно непрерывны.

Для любого   НМК уровня   существует и совпадает с критерием отношения правдоподобия:

при этом   и   определяются из уравнения  , или

 (7.1)

Доказательство леммы Неймана - Пирсона

1. Докажем, что уравнение (7.1) разрешимо относительно   и  .

Рассмотрим невозрастающую функцию  .

Поскольку интегрирование ведется по области  , то под интегралом  . Поэтому

 при  .

Рассмотрим  :

Возможны два критерия:  (а)   и  (б)  .

2. Математическое ожидание суммы случайных величин

Докажем, что для любых двух случайных величин  и

,                          (10.2.3)

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть  - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

.

Ho  представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина  примет значение :

;

следовательно,

.

Аналогично докажем, что

,

и теорема доказана.

б) Пусть  - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)

.                  (10.2.4)

Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):

аналогично

,

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

,                    (10.2.5)

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 7

1. Наиболее мощные критерии различения двух простых гипотез о среднем значении гауссовской случайной величины при известной дисперсии.

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки  .

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые и нормальные;

• значения дисперсий   известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза   (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

имеет стандартное Нормальное распределение  , где

 — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости  ):

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы 

если  , то нулевая гипотеза отвергается;

где   есть  -квантиль стандартного нормального распределения.