2. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма частот и относительных частот.

Непрерывный признак X(x_i), iÎ[1,n] может принимать любые значения в некотором числовом интервале, отличаясь один от другого на сколь угодно малую величину. Количество возможных значений непрерывного признака бесконечно. Значения непрерывного признака задаются интервалами, которые характеризуются интервальной частотой m. По данным наблюдений за непрерывным признаком строят интервальный вариационный ряд вида табл. 1.

Таблица 1. Интервальный вариационный ряд

Номер интервала	1	2	…	j	…	(q<n)
Границы интервала (aj-1;aj)	(a0;a1)	(a1;a2)	…	(aj-1;aj)	…	(aq-1;aq)
Средняя точка интервала	a1	a2		aj		aq
Частота интервала mj	m1	m2	…	mj	…	mq
Относительная частота wj	w1	w2	…	wj	…	wq

Для построения интервального вариационного ряда на основе простого (ранжированного) ряда значений непрерывного признака необходимо выполнить следующие действия: заполнить ряд полной шкалы интервалов; определить для каждого интервала частоту попадания значения признака в заданный интервал.

Алгоритм  построение ряда «Границы интервала» (полная шкала интервалов непрерывного признака)

Шкала интервалов непрерывного признака A = (а₀, a₁, …, a_j, …a_q) характеризуется следующими вычисляемыми параметрами:

наибольшее (x_max) и наименьшее (x_min) значения признака;

оптимальное значение величины интервала h, которое позволяет выявить характерные особенности (закономерности) рассматриваемого явления при минимальном количестве интервалов q, (q<n);

величина a₀ - начало (нижняя граница) первого интервала;

величина a_j - конец (верхняя граница) j-го интервала, которая одновременно определяет начало (j+1)-го интервала.

Наибольшему (x_max) и наименьшему (x_min) значениям признака в ранжированном "по возрастанию значения" ряде соответствуют значения первого и последнего элементов ряда "Значения признака".

Для определения оптимального значения величины интервала в первом приближении можно воспользоваться формулой Стерджеса

        (1)

Если h окажется дробным числом, то за значение величины шага интервала следует взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную десятичную дробь, например 0,5 и др.

Заполнение ряда "Границы интервала"

За начало первого интервала принимается значение величины a₀, которая определяется формулой

,         (2)

где h – длина интервала (1).

За конец j-го интервала (начало (j+1)-го) принимается значение величины a_j, которая определяется формулой

,         (3)

Построение шкалы интервалов на основе вычисления границ интервалов по формуле (3) продолжается до тех пор, пока величина a_j удовлетворяет соотношению a_j <  x_max + h/2.

Ряд значений "Границы интервалов" представляет собой последовательность числовых значений вида арифметическая прогрессия от a₀ до xmaх+h/2 с шагом h.

В соответствии со шкалой интервалов A = (a₀, a₁, …, a_j, …, a_q) производится группирование значений признака - определение интервальной частоты m_j (относительной частоты w_j) попадания его значения в заданный интервал.

,        (4)

Относительная частота w_j попадания значения непрерывного признака в заданный интервал определяется как отношение соответствующей частоты m_j к общему количеству наблюдений n по следующей формуле:

,         (5)

где m_j – частота интервала (4).

Средние величины

1. Средняя арифметическая - сумма произведений средних точек интервалов и cоответствующих частот mj (wj), деленная на количество признаков n

        (6)

    (7)

где mj и wj определяются по формулам (4), (5) соответственно.

2. Средняя гармоническая - обратное значение средних величин mj/ (wj/ ).

        (8)

        (9)

где mj и wj определяются по формулам (4) и (5) соответственно.

3. Логарифм из средней геометрической - средняя арифметиче-ская из произведений логарифмов средних точек интервалов и соответствующих им частот mj. (wj).

         (10)

        (11)

где m_j и w_j определяются по формулам (4) и (5) соответственно.

Показатели вариации

1. Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая абсо-лютных величин отклонений средних значений интервалов от среднего арифметического .

        (12)

        (13)

где ,m_j и w_j определяются по формулам (3),(7), (4), (5), соответственно.

2. Дисперсия - средняя арифметическая квадратов отклонений средних значений интервалов от среднего арифметического .

        (14)

        (15)

где , m_j и w_j определяются по формулам (3), (7), (4), (5) соответственно.

3. Среднее квадратическое отклонение - корень квадратный от дисперсии.

        (16)

        (17)

        (18)

          (19)

где , mj и wj определяются по формулам (6), (7), (4), (5) соответственно.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной h, а высотами   (плотность частоты).

Гистограмма частот случайной величины X

Площадь j-го прямоугольника гистограммы равна,

,

а площадь всей гистограммы

S =  = n.

Функцией относительных частот (плотностью относительной частоты), или гистограммой оценки плотности вероятностей, называют фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями h и высотами

(4)

  Оценка плотности распределения вероятностей

Площадь j-го прямоугольника равна

,

а площадь гистограммы

 = 1.

В асимптотическом пределе

,

оценка плотности вероятности равна истинному значению плотности вероятностей.  Плотность вероятностей и функция распределения являются функционными характеристиками и дают исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения случайной величины.

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 11