1. Критерии однородности выборок. Критерий Смирнова.

Критерии однородности - это критерии проверки гипотез о том, что две (или более) выборки взяты из одного распределения вероятностей. Рассмотрим такую классификацию критериев:

1. Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности не предполагают присутствие какой-либо фундаментальной информации о законе распределения. Любое распределение можно описать параметром положения, характеризующим центр группирования случайных величин, и параметром масштаба, характеризующим степень рассеяния случайных величин относительно центра группирования. Когда закон распределения неизвестен, гипотезы о параметрах проверяются при помощи специальных критериев сдвига и масштаба. Также существуют двухвыборочные критерии согласия.

• Непараметрические критерии сдвига.

Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу. Пусть заданы две выборки ,взятые из неизвестных непрерывных распределений  F(x) и G(y) соответственно

Нулевая гипотеза: 

Наиболее частая альтернативная гипотеза:  .

• Непараметрические критерии масштаба.

Для двух выборок  . проверяется гипотеза о том, что они принадлежат одному и тому же распределению, но с разным параметром масштаба. Если плотность распределения первой выборки —  , а второй выборки —  , то нулевая гипотеза  .

• Двухвыборочные критерии согласия.

2. Если же принимаются какие-либо дополнительные предположения о законе распределения вероятностей, то можно применять параметрические критерии однородности.

Сравнение параметров нормальных распределений

Сравнение двух средних значений

Имеются две выборки независимых случайных величин   Необходимо на основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки.

Нулевая гипотеза:  .

Альтернативы: 

Сравнение при известных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.

Сравнение при неизвестных равных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.

Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях осуществляется при помощи модификаций критерия Стьюдента: критерий Кохрена-Кокса, Критерий Сатервайта,критерий Уэлча.

Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках осуществляется при помощи критерия Стьюдента.

Критерий Уолша ^[1] позволяет проверять гипотезу о принадлежности одного наблюдения нормальному распределению, генерирующему выборку.

Двухступентчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа ^[1]

Критерий Фишера для сравнения двух средних с одинаковыми дисперсиями. ^[1] Эквивалентен критерию Стьюдента и основан на связи между распределениями Стьюдента и Фишера.

Сравнение нескольких средних значений

Имеются k выборок из нормально распределенной совокупности 

Нулевая гипотеза 

Альтернатива 

Критерий Смирнова - непараметрический статистич. критерий, применяемый для проверки гипотезы об однородности двух выборок.

Пусть Х ₁,. . ., Х _п и Y₁, . . ., Y_m - взаимно независимые случайные величины, причем каждая выборка состоит из одинаково непрерывно распределенных элементов, л пусть надлежит проверить гипотезу H₀. согласно к-рой обе выборки извлечены из одной и той же совокупности. Если

- вариационные ряды, отвечающие данным выборкам, a F_n(x)и G_m (х) - соответствующие им функции эмпирич. распределения, то гипотезу Н ₀ можно записать в виде следующего тождества

Далее, пусть в качестве возможных альтернатив к Н ₀ рассматриваются гипотезы

   

Для проверки гипотезы Н ₀ против односторонних альтернатив   и   а также против двусторонней Н ₁, Н. В. Смирновым предложены статистич. критерии, построенные на статистиках

   

соответственно, причем, как следует из определений статистик D⁺_m,n и D^-_m,n, при справедливости проверяемой гипотезы H₀, статистики D^-_m,n и D⁺_m,n распределены одинаково. В основе этих критериев лежит следующая теорема: если   так, что отношение т/п остается постоянным, то при справедливости гипотезы H₀ для любого y>0

 

где К(у) - функция распределения Колмогорова. Были получены (см. [4] - [6]) асимптотич. разложения для функций распределения статистик D⁺_m,n и D_m,n.  Согласно С. к. с уровнем значимости Q гипотеза H₀ отвергается в пользу одной из рассматриваемых альтернатив H⁺₁ , H^-₁, H,если статистика, соответствующая выбранной альтернативе, превосходит Q - критическое значение критерия, для вычисления к-рого рекомендуется пользоваться аппроксимациями, полученными Л. Н. Большевым [2] с помощью асимптотич. преобразований Пирсона.