Дисциплина: ТВ и МС Билет № 1

1. Критерии однородности дисперсии нескольких независимых выборок.

Важным предположением дисперсионного анализа (Дисперсионный анализ и t-критерий для разности средних) является предположение об однородности дисперсии в различных группах. Наиболее часто для проверки этого предположения используются два достаточно мощных критерия: критерий Левена и его модификация, предложенная Брауном-Форсайтом. Однако важно понимать, что (1) предположение однородности дисперсии не так критично, как другие предположения дисперсионного анализа, в частности, в случае сбалансированных планов, а также, что (2) описанные ниже критерии сами по себе не обязательно являются очень устойчивыми.

Критерий Левена (однородности дисперсии): Для каждой зависимой переменной, проводится дисперсионный анализ абсолютных отклонений наблюдаемых значений от соответствующих средних по группам. Если критерий Левена является статистически значимым, гипотеза об однородности дисперсии должна быть отвергнута. Критерий Левене используется для проверки того, что   выборок имеют равные дисперсии. Критерий Левене является альтернативой критерию Бартлетта. Считается, что критерий Левене менее чувствителен к отклонениям от нормальности.

Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии   выборок имеет вид:

.                                                           (1)

а конкурирующая с ней гипотеза –

,                                                                           (2)

где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов   ,  .  

Пусть   − объем  -й выборки,  ,  −  -е наблюдение в  -й выборке. Статистика критерия Левене имеет вид:

,

 

где   может определяться одним из следующих способов:

1.     

где   − есть среднее в  -й выборке.

2.     

где   − есть медиана в  -й выборке.

3.     

где   − есть усеченное среднее в  -й выборке.

 − есть среднее   по  -й выборке,   − есть среднее   по всем выборкам.

Эти три варианта выбора определяют устойчивость критерия Левене.

• Критерий Брауна-Форсайта (однородности дисперсии)

2. Понятие квантили (определение, графическая интерпретация), доверительного интервала, доверительной области. Примеры нахождения квантилей нормального распределения.

Понятие квантили

-кванти́ль (или квантиль порядка  ) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей  .

Определение

Пусть есть вероятностное пространство

, и — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины X. Пусть фиксировано . Тогда α-квантилью (или квантилью уровня α) распределения   называется число  , такое что

Графическая интерпретация

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях применяется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 < p < 1 (обозначается Хр). Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р (рис.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль хр порядка р (рис.2), причем

F(xp) = p. (2)

Доверительный интервал

Доверительным интервалом параметра и распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%[примечание 1], порождённым выборкой (x1,…,xn), называется интервал с границами l(x1,…,xn) и u(x1,…,xn), которые являются реализациями случайных величин L(X1,…,Xn) и U(X1,…,Xn), таких, что

Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.

Доверительная область

Во многих случаях, помимо точечных оценок неизвестных параметров распределения, желательно указать область, в которой истинные значения этих параметров содержатся с заданной вероятностью. Такая область называется доверительной.

Дадим точное определение. Пусть выборка x=(X1,…, Xi) подчиняется функция распределения F(x | p), т.е.

Хi ~ F(x | p),

которая известна с точностью до значений параметровp =(p1,…, pM). Статистика P(x) ∈ RM называется доверительной областью, соответствующей доверительной вероятности г, если

Pr{p ∈ P(x)}≥г .

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 2