3.4.Теория Баклея - Леверетта

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно–параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея—Леверетта.

Рассмотрим пласт толщиной h и длиной L Рис. 3.5. Слева, за границей нефтяного пласта, находится законтурная вода. Из пласта происходит отбор нефти с постоянным расходом Q_o. Вода и нефть считается несжимаемыми. В законтурной области водонасыщенность равна единице, а в нефтяном пласте додонасыщенность равна остаточной водонасыщенности _во. Необходимо рассчитать распределение водонасыщенности с различные моменты времени.

Р ис. 3.21. Схема пласта и начальное распределение водонасыщенности

Эта задача иписывается уравнениями неразрывности:

(3.0)

И обобщенным законом Дарси:

.

(3.0)

Сложим уравнения неразрывности. Сумма насыщенностей равна единице, поэтому:

.

(3.0)

При интегрировании последнего уравнения учтем, что жидкости несжимаемые, поэтому расход отбора нефти равен расходу закачки воды. При плоско параллельном движении будут равны и скорости. Обозначим скорость внедрения воды через u_o = Q_o/(B h). Тогда:

.

(3.0)

Подставим скорости фильтрации, найденные из обобщенного закона Дарси в последнее уравнение:

.

(3.0)

Найдем из последнего уравнения градиент давления и подставим его в обобщенного закона Дарси для воды:

.

(3.0)

Здесь через f(_в) обозначена функция Баклея - Леверетта

.

(3.0)

Функция Баклея—Леверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задачи повышения нефте – и газоконденсатоотдачи в значительной степени сворятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции Баклея – Леверетта в направлении увеличения полноты вытеснения.

Типичные графики функции Баклея – Леверетта и ее производной f '(_в) изображены на рис. 3.6. С ростом насыщенности f(_в) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f(_в) является наличие точки перегиба, участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f ^''(_в) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея—Леверетта.

Р ис. 3.22. Типичные графики функции Баклея - Леверетта и ее производной

Для нахождения распределения водонасыщенности по пласту подставим скорость фильтрации воды ( 3 .0) в уравнение неразрывности для воды:

.

(3.0)

Считая, что водонасыщенность зависит от координаты x, получим:

.

(3.0)

1. f '(sв) – производная от функции Баклея – Леверетта по водонасыщенности.

Решение этого уравнения первого порядка в частных производных имеет вид:

.

(3.0)

Это решение математически справедливо рис. 3.7, но физически выполняется не для всех значений насыщенности. Из рисунка видно, что в каждой точке пласта будут три значения насыщенности, что абсурдно.

Р ис. 3.23. Распределение водонасыщенности по длине пласта

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Бакалея - Леверетта является зависимость скорости фильтрации воды от значения насыщенности. Действительно, из формулы ( 3 .0) и графика зависимости функции Бакалея – Леверетта от водонасыщенности следует рисунок 3.7, что с ростом водонасыщенности скорость фильтрации воды сначала растёт, а потом уменьшается.

Условия на скачках насыщенности

Положение скачков (разрывов) насыщенности заранее неизвестно и должно быть найдено в зависимости от времени из решения задачи. Оказывается, что значения насыщенности и до _- и после ₊ разрыва соответственно не могут быть произвольными, а связаны друг с другом и скоростью разрыва определенными соотношениями. Несмотря на то что дифференциальное уравнение ( 3 .0), выражающее баланс массы каждой фазы, в точках образовавшегося разрыва они теряют физический смысл, так, как производные по координате и по времени равны бесконечности.

Рассмотрим наиболее простой случай скачка, когда водонасыщенность до скачка равна остаточной водонасыщенность _- = _во, а после скачка фронтальной водонасыщенности, которая неизвестна, но не меняется с течением времени ₊ = _вф. Считая, что площадь поперечного сечения равен единице, объём закачки воды в пласта равен скорости закачки воды , а объём изменения воды в пласта равен изменению водонасыщенности в пласте умноженной на координату проникновения воды в пласт, которую можно представить в виде:

.

(3.0)

2. x_ф – координата фронта, м;

x – текущая координата положения при насыщенности _в.

Используя формулы для положения координат точек с данной насыщенностью, получим:

.

(3.0)

Интегрируя и исключая постоянные множители, получим:

.

(3.0)

Так, как при водонасыщенности равной единице функции Бакалея – Леверетта равна нулю, получаем уравнение:

.

(3.0)

Аналитическое решение последнего уравнения затруднительно, но имеет простой геометрический смысл. Оно представляет собой уравнение касательной, проведенной из точки остаточной водонасыщенности, к кривой функции Бакалея – Леверетта, рисунок 3.8. Это дает простой графический способ определения фронтовой насыщенности по известной функции Баклея—Леверетта, который в некоторых случаях может заменить решение трансцендентного уpaвнения ( 3 .0).

Р ис. 3.24. Графический способ определения фронтовой и средней водонасыщенности

Важным показателем процесса вытеснения служит средняя водонасыщенность а в зоне смеси за фронтом вытеснения, определяемая как отношение объема воды в пласте после ее закачки, к объему порового пространства в зоне смеси. Средняя водонасыщенность _в.ср = определяется по формуле:

.

(3.0)

Графический способ определения средней водонасыщенности за фронтом – продолжить касательную к функции Баклея—Леверетта до точки, где функции Баклея—Леверетта равна единице. Тогда абцисса этой точки равна средней водонасыщенности за фронтом.

Равенство (9.58) имеет простую геометрическую интерпретацию. Если продолжить касательную к кривой / (а) (см. рис. 9.4), определяющую фронтовую насыщенность ас, до пересечения в точке В с прямой / (а) = 1, то абсцисса точки В определит значение а.

Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая «переходная зона» вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно от значения ас до а„ (см. § 6).

Расчет коэффициента нефтеотдачи

Одна из важных технологических характеристик процесса вытеснения — коэффициент безводной нефтеотдачи . Он определяется как отношение вытесненного водой объема нефти от нагнетательной галереи до фронта к общему объему пор, занятых нефтью до начала вытеснения. Тогда:

.

(3.0)

Коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается с ростом отношения вязкостей воды к нефти, то есть при увеличении вязкости вытесняющей фазы или (и) при уменьшении вязкости вытесняемой фазы.

Полученные точные решения задачи о вытеснении нефти водой применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтяных и газовых месторождений с использованием процесса заводнения. Кроме того, они могут служить тестами при оценке точности численных методов решения более сложных задач двухфазной фильтрации с использованием ЭВМ.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.