26) Вычисление двойного интеграла: повторный или двукратный интеграл

От функции f (х, у) по области S, ограниченной прямыми х = а, х = b и кривыми При некоторых условиях относительно функций f(x, у), j1(x), j2(х), производится по формуле: где при вычислении внутреннего интеграла х считается постоянным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к двум вычислениям обычных интегралов, или, как говорят, к П. и. Геометрически сведение двойного интеграла к П. и. означает возможность вычисления объёма цилиндроида как путём разбиения его на элементарные столбики, так и путём разбиения его на элементарные слои, параллельные плоскости yOz. При некоторых условиях на функцию f (х, у)область S в П. и. можно изменить порядок интегрирования (то есть сначала интегрировать по х, а потом по у). Аналогично определяется П и в случае функций большего числа переменных.

Основные свойства двойного интеграла

27) Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f(x,у) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и то функция f(x, у) интегрируема в каждой из областей D1 и D2 причем

2°. Линейное свойство. Если функции f(x,y) и g(x, у) интегрируемы в области D, а а и b -любые вещественные числа, то функция также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f(х, у) и g(x, у) интегрируемы в области D. то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x. у) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) < g(x, у), то

5°. Если функция f(x,y) интегрируема в области D. то и функция |f(x,y)| интегрируема области D. причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x,y)| в D не вытекает интегрируемость f(x,y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x,y) и g(x. у) интегрируемы в области D, функция g(x, у) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области. M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x,y) в области D. то найдется число u, удовлетворяющее неравенству m < u < М и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f(x,y) непрерывна в D а область D связна, то в этой области найдется такая точка (E,n). что u = f(E,n). и формула (11) принимает вид

7°. Важное геометрическое свойство, равен площади области D (Это свойство непосредственно вытекает из определения интегрируемости)

28) Замена переменных в двойном интеграле

Для вычисления двойного интеграла от f(x,y)dxdy иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , a S - образ области интегрирования R. который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом при условии, что знаменатель нигде не равен 0.