20. Кинетическая интерпретация теоремы моментов (теорема Резаля)
Рассмотрим
кинематическую интерпретацию этой
теоремы. Если конец переменного вектора
обозначим через А,
то производная
выражает скорость точки А,
т.е.
и из уравнения (3.22.1) имеем:
.
(3.23.1)
Равенство (3.23.1) выражает теорему Резаля: скорость конца переменного вектора, изображающего кинетический момент механической системы относительно данного неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно того же центра.
21. Две меры механического движения. Кинетическая энергия материальной точки
Для измерения механического движения в зависимости от характера преобразования движения используют две меры. Если при взаимодействиях механических систем механическое движение одной из них преобразуется или переходит в механическое движение другой системы, то мерой движения является количество движения, а мерой действия силы служит ее импульс.
,
.
Если же при взаимодействии систем механическое движение одной из них преобразуется в другие виды движения (потенциальную энергию, теплоту, электричество), то мерой движения является кинетическая энергия, а мерой действия силы служит ее работа.
Кинетической энергией материальной точки называется величина, характеризующая меру движения точки при переходе его в механическое движение:
.
Если движение точки задается в координатной форме, то кинетическая энергия равна:
.
В
естественной форме
.
22. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Теорему об изменении кинетической энергии материальной точки можно выразить в трех видах:
1. Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку:
.
(3.25.1)
2. Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, действующей на эту точку:
.
(3.25.2)
Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом же перемещении:
.
(3.25.3)
Равенства (3.25.1) и (3.25.2) аналитически выражают теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме, а равенство (3.25.3) выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной или конечной форме.
23. Работа силы. Мощность. Теоремы о работе. Примеры вычисления работы
Работа силы – скалярная мера действия силы.
1
.
Элементарная
работа силы – это бесконечно малая
скалярная величина, равная скалярному
произведению вектора силы на вектор
бесконечно малого перемещения точки
приложения силы:
,
(3.26.1)
где
–
приращение радиус-вектора
точки приложения силы, годографом
которого является траектория этой
точки. Элементарное перемещение
точки по траектории совпадает с
в силу их малости. Поэтому
.
(3.26.2)
Так
как
– проекция силы на направление перемещения
точки (при криволинейной траектории –
на касательную ось
к траектории), то
,
Т.е. работу совершает только касательная сила, а работа нормальной силы равна нулю.
Из (3.26.2) следует:
если
,
то
;
если
то
;
если
то
.
2. Аналитическое выражение элементарной работы.
Представим векторы и через их проекции на оси декартовых координат:
,
и подставим в (3.26.1). Получим
.
3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении
или
.
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то
.
Мощность – это работа, выполненная силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность
,
где
–
работа, совершенная силой на конечном
перемещении, за время t.
В
общем случае мощность силы определяется
как отношение элементарной работы силы
к элементарному промежутку времени
,
за который совершена эта работа, что
представляет собой производную от
работы по времени. Поэтому
.
Теорема о работе заключается в следующем:
Элементарная работа равнодействующей системы сил, равна арифметической сумме работ составляющих сил.
.