4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение

Задача заключается в следующем: зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.

Начальные условия движения точки в декартовых осях – это координаты точки и проекции начальной скорости на оси и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю.

Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания

Колебание или колебательное движение материальной точки – это повторяющееся во времени движение точки около своего положения равновесия в двух противоположных направлениях.

Колебания материальной точки могут быть линейные и нелинейные, большие или малые. Будем изучать только линейные колебания точки. Колебания материальной точки могут быть: свободными, затухающими и вынужденными. Свободные колебания возникают в тех случаях, когда отсутствует сопротивление среды. В дальнейшем будем предполагать, что сила упругости, действующая на материальную точку, пропорциональна ее отклонению от положения равновесия. Силу упругости будем моделировать пружиной. Модель свободных колебаний точки:

, где с-жесткость пружины.

Если шарик в процессе движения, отклоняется от равновесия, на него действует сила упругости , которая стремится вернуть шарик в положение равновесия и поэтому называется восстанавливающей силой.

Для определения кинематического уравнения движения точи М, необходимо решить вторую задачу динамики точки, т. е. проинтегрировать уравнение.

или . (3.6.1)

Получим (3.6.2) – дифференциальное уравнение свободных колебаний точки.

Где (3.6.3) – циклическая частота свободных колебаний точки.

Выражение (3.6.2) представляет собой линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Поэтому его решение надо искать в виде экспоненты:

, (3.6.4)

. (3.6.5)

Подставляем (3.6.4) и (3.6.5) в (3.6.2), получаем;

, (3.6.6) – характерное уравнение для (3.6.2). Корни уравнения (3.6.6) являются мнимыми:

. (3.6.7)

Общее решение дифференциального уравнения (3.6.2) имеет вид:

. (3.6.7)

Для определения постоянных интегрирования и продифференцируем по времени (3.6.7) и из полученного выражения и уравнения (3.6.7) с учетом начальных условий движения при находим

; .

Запишем решение (3.6.2) в амплитудной форме, для чего введем следующую подстановку:

, (3.6.8)

С учетом этого (3.6.7) примет вид

, (3.6.9)

где – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний.

К олебания, совершаемые по законам (3.6.7) или (3.6.9) называются гармоническими. Изобразим график свободных колебаний точки, основываясь на (3.6.9).

Величина a, представляющая наибольшее отклонение точки М от положения равновесия, называется амплитудой колебания.

.

Свойства свободных колебаний;

1) Частота и период свободных колебаний не зависит от начальных условий движения, и являются неизменными характерными условиями колеблющейся системы.

2) Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяются начальными условиями движения.

3) Если на материальную точку действует постоянная сила, направленная вдоль ее движения, то кинематические характеристики движения (k,t,a, ) не изменяются, а лишь смещаются по направлению силы в центр колебаний на величину так называемого статического смещения.