36. Общее уравнение динамики
Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.
В соответствии с принципом Даламбера совокупность приложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образуют уравновешенную систему сил.
Если к такой системе применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики.
Формулировка этого принципа:
При движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равно нулю:
.
Этому выражению можно придать другие эквивалентные формы:
а) в виде скалярного произведения векторов
;
(3.40.1)
б) в аналитическом виде
.(3.40.2)
В
этих уравнениях сила инерции материальной
точки
,
а ее проекции на оси координат
,
,
,
тогда уравнения (3.40.1) и (3.40.2) можно
представить в следующем виде:
;
.
37. Обобщенные координаты. Обобщенные скорости и число степеней свободы механической системы.
Решение многих задач динамики можно существенно упростить, если ввести понятие об обобщенных координатах.
Обобщенными (или лагранжевыми) координатами механической системы называется совокупность независимых параметров, однозначно определяющих положение системы в пространстве.
В
качестве обобщенных координат выбираются
угловые или линейные перемещения тел,
входящих в систему. Общее их обозначение
.
Например, для кривошипно-шатунного
механизма за обобщенную координату
можно принять угол
поворота кривошипа, т.е.
.
Для
эллиптического маятника – две обобщенные
координаты
,
.
При
движении механической системы ее
обобщенные координаты непрерывно
изменяются, т.е.
Обобщенными
скоростями называются производные по
времени от обобщенных координат
,
и т.д.
Число степеней свободы S механической системы – это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.
Для механической системы с голономными связями число степеней свободы равно числу обобщенных координат
38. Обобщенные силы и способы их вычисления
Обобщенной
силой
,соответствующей
обобщенной координате
,
называется скалярная величина, равная
отношению элементарной работы действующих
сил на перемещении механической системы,
вызванном элементарным приращением
координаты
,
к величине этого приращения, т.е.
,
где n – число материальных точек; S – число степеней свободы механической системы; – равнодействующая задаваемых сил, приложенной к k-й точке системы.
Это выражение в проекциях на оси декартовых координат имеет вид:
,
.
(3.42.1)
Если силы, действующие на систему, имеют потенциал, то обобщенная сила равна взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии системы по соответствующей обобщенной координате, т.е.
,
.
Обобщенные силы можно вычислить тремя способами:
1) Для определения обобщенных сил можно использовать формулы (3.42.1):
2) Для того, чтобы найти обобщенную силу , соответствующую обобщенной координате , необходимо данной механической системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна координата , а все остальные обобщенные координаты остаются неизменными. Затем составить сумму элементарных работ всех заданных сил на этом перемещении и разделить эту сумму на величину приращения , т.е.
.
3) Если механическая система находится под действием сил, имеющих потенциал, то после выбора обобщенных координат надо вычислить потенциальную энергию П системы, выразив ее зависимость от обобщенных координат. Тогда , .