1. Математическая модель задачи ЛП.Матпро – это раздел матем-ки, в кот-ой разраб-ся числовые м-ды решения многомерных задач с ограничениями. Чтобы решить задачу матем. м-дами необходимо составить модель. Мат.модель – это с-ма матем. выражений, которая описывает хар-ки изучаемого объекта и взаимосвязи м/у ними. Матпро включает: ленейное пргр-е, динамическое прогр-е, целочисленное прогр-е, дробнолинейное прогр-е и т.д. В 1939г. Л.В.Конторович выпустил брошюру матем. м-ды анализа и планир-я произв-ва. В Америки Дж. Данциг и Т. Кумпанс работали над теорией оптимихации. В 1951г. в их работе появляется термин «линейного програмир-е». В 1975г. Кумпанс и Конторович получили нобелевскую премию.Постановкой общей задачи МП: определить значение неизв-ых х1,х2,…хn, при которых выпол-ся ограничения gi(x1,x2,….xn) (<=,=, >=) bi(i=1,m)(1) и доставляется экстремум функции Z=f(x1,x2,…xn) –extr-(2) целевая функция или функция цели. Значение переменных (х1,х2,…хn) наз-ся решением задачи или планом. План удовлетворяющий ограничениям (1) наз-ся допустимым. Допустимый план, при котором значения достигают экстремума наз-ся оптимальным. Задачи МП : определение оптимального плана, опред-е оптимального объема выпуска продукции, опред-е оптим-го сочитания посевов с/хоз-ых культур, формир-е оптим-го пакета активов, максимиз-щий прибыль банка и т.д.
2. Классификация методов математического программирования. Матем. программирование – область математики, которая разрабатывает теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум ф-ции многих переменных с ограничениями на область определения этой ф-ции.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экон. возможностей назыв. целевой ф-цией.
Методы мат. программирования:
1. Если целевая ф-ция и ф-ции в сис-ме ограничений линейны, то такая задача мат. программ-ния явл. задачей линейного программ-ния.
2. Если же целевая ф-ция или хотя бы одна ф-ция из сис-мы ограничений не линейна, то это задача не линейного программ-ния.
3. Если исходя из содержимого смысла задачи ее решения должны быть целочисленными, то это задача целочисленного программ-ния.
4. Если ф-ции (целевая и ф-ции ограничений) обладают св-вами выпуклости, то это задача выпуклого программ-ния.
5. Задача
динамического программ-ния –
если параметры целевой ф-ции или сис-мы
ограничений изменяются во времени либо
целевая ф-ция имеет адаптивных хар-р
(
)
или мультипликативный (
)
, (П- произведение)
6. Задача
стохастического программ-ния
– если переменные 
сами явл. функциями или случайными
величинами.
3. Понятие лп.
Задачи ЛП ставятся след. образом: требуется отыскать условный экстремум (max или min) целевой ф-ции n переменных
z = c1x1 + c2x2 + … +cnxn à max (min)
или (1)
z= 
jxj
à
max (min)
На переменные
(
)
наложены линейные ограничения:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ (≥, <, >, =) b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ (≥, <, >, =) b2 (2)
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ (≥, <, >, =) bm
Коэффициенты c1, c2, …, cn; a11, a12, …, a1n; b1, b2, …, bm – заданные числа, а x1, x2, …, xn – неизвестные.
Любой план х=( x1, x2, …, xn), удовлетворяющий сис-ме ограничений (2) назыв. допустимым решением задачи ЛП.
Допустимое решение, на котором достигается требуемый экстремум целевой ф-ции (1) назыв. оптимальным решением задачи ЛП.
4. Задачи лп и их математические модели.
1) Задача распределения ресурсов.
Предприятие изготовляет n типов продукции, для произ-ва которых требуется m видов сырья. Для изготовления единицы
j-го типа продукции требуется aij единиц сырья i-го вида. i=1¯, m ; j=1¯,n. Запасы сырья ограничены и составляют bi единиц для i-го вида сырья. Прибыль от реализации одной единицы продукции
j-го типа равна cj единиц. Сколько единиц продукции каждого вида нужно произвести, чтобы получить max прибыли и уложиться в имеющиеся запасы ресурсов.
Решение.
Пусть x1, x2, …, xn – кол-во продукции каждого вида, тогда прибыль от реализации продукции будет иметь вид:
z = c1x1 + c2x2 + … +cnxn
Ограничение:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm.
2) Задача составления рациона (задача о диете).
Пусть на животноводческой ферме каждое животное ежедневно должны получать не менее 7 ед-ц питательного в-ва S1, 9 ед-ц
в-ва S2, 14 ед-ц в-ва S3. Для составления рациона используют 2 вида корма, содержание кол-ва единиц питательных в-в в 1кг корма: корм1 содержит 2 единицы питательного в-ва S1, 8 единиц питательного в-ва S2, 5 единиц питательного в-ва S3;
корм2 содержит 5 единиц питательного в-ва S1, 5 единиц питательного в-ва S2, 4 единицы питательного в-ва S3.
Составить рацион нужной питательности , причем затраты на него должны быть min.
Решение.
Пусть x1, x2 – кол-во корма каждого вида соответственно. Тогда целевая ф-ция:
z= 14 x1+26 x2
Мат. модель задачи:
x= (x1, x2)
z= 14 x1 + 26x2 à min
2x1 + 5x2 ≥7
8x1 + 5x2 ≥9
5 x1 + 4x2 ≥14
x1, x2 ≥0
3) Задача о раскрое.
Пусть для изготовления брусьев 3-ех длин (0,2; 0,3; 0,5) на распил поступили бревна длиной 1м. Нужно получить не менее 150 и не более 200 брусьев длиной 0,2м; не менее 200 и не более 300 брусьев длиной 0,3м; не менее 300 и не более 330 брусьев длиной 0,5м. Как распиливать бревна, чтобы обеспечить нужное число брусьев каждого размера и при этом минимизировать отходы.
Решение.
Способ распила |
Длины |
Отходы |
||
0,2 |
0,3 |
0,5 |
||
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
1 |
0 |
0,1 |
3 |
2 |
2 |
0 |
0 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0,1 |
5 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6 |
0 |
3 |
0 |
0,1 |
7 |
0 |
0 |
2 |
0 |
Пусть x1, x2 ,x3, x4 ,x5, x6 ,x7 – кол-во бревен распиленных соответствующим образом. Целевая ф-ция: z= 0,1x2 + 0,1x4 + 0,1x6
Мат. модель задачи:
x= (x1, x2 ,x3, x4 ,x5, x6 ,x7)
z= 0,1x2 + 0,1x4 + 0,1x6 à min
5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 150
5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 + x5 ≤ 200
x2 + 2x3 + + x5 + 3x6 ≥ 200
x2 + 2x3 + + x5 + 3x6 ≤ 300
x4 + x5 + 2x7 ≥ 300
x4 + x5 + 2x7 ≤330
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ≥0