1.Законы Ньютона

Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Второй закон (основной закон динамики): произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

.

Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т.е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. В этом случае

или .

Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Четвертый закон (закон независимости действия сил): ускорение, полученное точкой при действии на нее одновременно нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

.

Так как , ,…; ,…; ,

то

.

2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики.

1) Дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме.

Запишем второй закон динамики в виде

. (3.2.1)

Так как , , – радиус-вектор движущейся точки, то (3.2.1) содержит производные от и представляет собой дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме или основное уравнение динамики материальной точки.

2) Дифференциальное уравнение движения точки в координатной форме.

П усть точка М движется под действием нескольких сил. Составим основное уравнение динамики и спроектируем это векторное равенство на оси X, Y, Z:

3) Дифференциальное уравнение движения точки в естественной форме.

С проецировав (3.2.1) на оси естественной системы координат (Мτ, Мn, Mb), получим

3.Первая основная задача динамики пункта и ее решение

Задача заключается в следующем: зная закон движения и массу точки, необходимо определить силу, действующую на точку.

Для решения этой задачи необходимо знать ускорение точки, которое может быть задано непосредственно либо задан закон движения точки, в соответствии с которым оно может быть определено.

1) Если движение точки задано в координатной форме ( ), то необходимо определить проекции ускорения на оси координат и , а затем проекции , , силы на эти оси:

, , .

Модуль и направление силы определяется по формуле

;

, , .

2) Если движение точки задано в естественной форме ( ), то проекции ускорения на оси

– касательное ускорение;

– нормальное ускорение;

.

Тогда проекция силы на естественные оси

, .

Модуль и направление силы определяется по формулам

, ,