29. Теоремы о выпуклости (вогнутости) графика непрерывной функции. Точки перегиба. (доказательство с использованием трехчленной формулы Тейлора).

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно, (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

??? Понятие функции многих независимых переменных. Область ее определения. Связные и несвязные области. Метрика n-мерного пространства. Определения.

Функцией п переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

Окрестностью точки P называется внутренность любого круга с центром в P. Если некоторая точка данного множества обладает тем свойством, что существует некоторая ее окрестность, целиком принадлежащая множеству, то такая точка называется внутренней точкой данного множества. Множество, состоящее лишь из внутренних точек, называется областью. Область называется связной, если любые 2 её точки можно соединить ломаной, целиком лежащей в данной области. В противном случае область несвязная.

Пространство - множество всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом множестве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством. Множество R называется открытым, если весь Х лежит в R, то для любой точки x ϵ X e >0 такая, что U(x,e) принадлежит Х. Любое открытое множество, содержащее данную точку называется его окрестностью. Точка х ϵ R, называется точкой прикосновения Х ϵ R, если любая окрестность этой точки содержит точки множества Х. Множество, содержащее все свои точки прикосновения, называется замкнутым {Метрическое пространство.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из множетсва Х и действительной не отрицательной функции r, определенной на множестве Х и удовлетворяющей следующим свойствам: 1) r(x,y)=0, x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x), x,yϵX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y), x,y,z ϵX в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расстояние междуу точками х и у.

??? Окрестность точки в n-мерном пространстве. Понятие предела функции в точке и области. Определения.

Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в .

.

Пусть функция определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .

Следствие. Если при существовании предела функции существуют оба повторных предела, то они равны.

Предел иногда называю двойным пределом в отличии от повторных.

??? Частные производные функций многих переменных. Формула для вычисления полного дифференциала n-го порядка.

Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Если существует конечный предел ,то функция f(x, y) имеет в точке (x₀, y₀ ) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная функции f(x₁, x₂, …, x_n) по переменной x_i : Обозначают: , .

Если представление приращения функции в виде имеет место, то функцию называют дифференцируемой в точке , а линейную относительно функцию

 

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции в точке .

Если функция является дифференцируемой в любой точке открытой области , то функцию называют дифференцируемой в области .     

Таким образом, приращение дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала , то есть линейной части приращения, и остатка , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение :

 

??? Необходимые и достаточные условия максимума и минимума для функции двух независимых переменных.

Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю:

, .

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции .

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае A=0 вопрос о наличии экстремума остается открытым.

??? Понятие условного экстремума функций многих переменных. Метод Лагранжа отыскания стационарных точек.

Пусть на открытом множестве G R ⁿ заданы функции.

y _i =f _i (x) i=1,2,3,…,m (6.1)

x=(x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ).Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции f _i i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: f _i (x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6.2)

Уравнения

f _i (x)=0, i=1,2,3,…,n (6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f ₀ (x) .Тогда x ⁽⁰⁾ E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f ₀ (x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6.3) , если она является точкой обычного экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Метод Лагранжа

Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — λ_i:

где .

Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по x_j и λ_i.

Если полученная система имеет решение относительно параметров x'_j и λ'_i, тогда точка x' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.