22. Односторонние производные функций. Теорема о существовании производной в точке (доказательство).

Правосторонний предел называется правосторо́нней произво́дной или произво́дной спра́ва и обозначается символами Аналогично, левосторонний предел называется левосторо́нней произво́дной или произво́дной сле́ва и обозначается символами

Пусть дана функция Тогда существует конечная производная f'(x₀) тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные односторонние производные f' ₊ (x₀) = f' ₋ (x₀).

Теорема. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем .

Теорема (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке , то функция в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть существует . Тогда ,

Где – бесконечно малая при .⇒ ;⇒ .

Но это означает, что непрерывна в точке (см. Геометрическое определение непрерывности).

23. Правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций (доказательства).

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/v−v/u. Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u. Теорема доказана.

24. Вывод формул вычисления производной сложной функции и обратной функции.

Теорема. Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равно производной данной функции по промежуточному аргументу, и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е. y’=f’(u)*u’.

Доказательство: Дадим независимой переменной x приращение ∆x≠0. Тогда функции u=φ(x) и y=f(u) соответственно получат приращение ∆u и ∆y.

Предположим, ∆u≠0. Тогда, в силу дифференцируемости функции y=f(u) можно записать lim∆u→0 ∆y/∆u=f’(u).

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций ∆y/∆u=f’(u)+α(∆u), где α(∆u) – бесконечно малая при ∆u→0, откуда ∆y=f’(u)*∆u+α(∆u)*∆u.

Это равенство будет справедливо и при ∆u=0, если полагать, что α(∆u=0)=0.

Разделив обе части этого равенства на ∆x≠0, получим ∆y/∆x=f’(u)*∆u/∆x+α(∆u)*∆u/∆x.

Так как по условию функция u=φ(x) дифференцируема, то она непрерывна в точке x, следовательно, при ∆x→0 ∆u→0 и α(∆u)→0. Поэтому, переходя к пределу при ∆x→0 в равенстве ∆y/∆x=f’(u)*∆u/∆x+α(∆u)*∆u/∆x, получим y’=f’(u)*lim_∆x→0∆u/∆x=f’(u)*u’.

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции. Пусть y=f(x) – дифференцируемая и строго монотонная на некотором промежутке X. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция x=φ(y) является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. x’_y=1/y’_x.

Доказательство: По условию функция y=f(x) дифференцируема и y’(x)=f’(x)≠0. Пусть ∆y≠0 – приращение независимой переменной y, ∆x – соответствующее приращение обратной функции x=φ(y). Тогда справедливо равенство ∆x/∆y=1/(∆y/∆x). Переходя к пределу в этом равенстве при ∆y→0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции ∆x→0, получим lim_∆y→0∆x/∆y=1/(lim_∆x→0(∆y/∆x)), т.е. x’_y=1/y’_x.