16. Понятия бесконечно большой, бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

{x_n}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|>M. (M>0N_M:n>N=>|X_n|>M)

{x_n}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |x_n|<M.

Последовательность {X_n} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: c>0:n>N=>|X_n|>c

Основные свойства бесконечно малых и больших последовательностей.

1)Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п.

Док-во: _n – б.м., _n-б.м. /2>0N₁:n>N₁=>|_n|</2, /2>0N₂:n>N₂=>|_n|</2. N=max{N₁,N₂}, тогда n>N будут одновременно выполнятся |_n|</2 и |_n|</2 => n>N |_n+-_n|  |_n|+|_n| < /2+/2=, n>N |_n+-_n| <  - бесконечно малая.

Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.

2)Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.

Док-во: _n – б.м., _n-б.м. Так как _n – б.м., то >0N₁:n>N₁=>|_n|<, =1N₂:n>N₂=>|_n|<1. N=max{N₁,N₂}, тогда n>N существует |_n|< и |_n|<1 => |_n|*|_n|<*1=, |_n*_n|-бесконечно малая.

Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.

3)Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п.

Док-во: Пусть X_n-ограниченная, _n – б.м. Так как X_n-ограниченная, то c>0:n>N=>|X_n|>c, так как _n – б.м., то /с>0N:n>N=>|_n|</с. Тогда |X_n*_n| = |X_n|*|_n| < c*/c=, |X_n*_n|<c-б.м.п.

4)Теорема:

Замечание:

5)Теорема: если последовательность {x_n}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {_n}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.

Доказательство: Пусть {x_n}-бесконечно большая. M>0N_M:n>N=>|X_n|>M. Пусть , n>N – бесконечно малая и обратно.

??? Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.

Монотонная последовательность - последовательность {xn}, n ϵ N, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1. для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство  (неубывающая последовательность),

2. для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство   (невозрастающая последовательность).

Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:

1. для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство   (возрастающая последовательность);

2. для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство   (убывающая последовательность).

Теорема о достаточном условии существования предела числовой последовательности(теорема Вейерштрасса). 

Неубывающая последовательность сходится (имеет предел), когда она ограничена сверху.

Доказательство:  Необходимость. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Достаточность. Пусть x_n — ограниченная сверху последовательность. Существует S = sup x_n, то есть " e > 0 $ x_N: x_N > S - e. Так как последовательность неубывающая, то

" n > N Ю x_n і x_N Ю S - e < x_N Ј x_n Ј S < S + e. Следовательно, |x_n - S| < e.