21. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль на замкнутом интервале (Больцано-Коши) (доказательство).

Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть и f(a),f(b) < 0. Тогда такое, что f(c) = 0.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку получим, что

??? Теорема о промежуточном значении непрерывной функции на замкнутом интервале (Больцано-Коши).

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку получим, что

??? Теорема о необходимых и достаточных условиях существования обратной функции.

Пусть дана функция y = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости y = f(x) можно переменную x однозначно выразить через переменную y. Выразив x через y, мы получим равенство вида x = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f?

Самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: по определению функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через y.

Условие существования обратной функции можно выразить геометрически.

Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y₀ для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция f является обратной для функции g, потому что равенства y = f(x) и x = g(y) по определению обратной функции равносильны, т. е. может существовать только одна пара чисел x и y, между которыми выполняется как зависимость y = f(x), так и зависимость x = g(y). В силу симметрии понятия обратной функции пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

??? Теоремы об области значений и о наибольшем и наименьшем значениях функции, непрерывной на замкнутом интервале.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (x_n) этого сегмента можем выделить подпоследовательность x_nk, сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка x_n∈[a;b] , что f(x_n)>n. Придавая n значения 1,2,…, мы получим последовательность (x_n) точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x₁)>1,f(x₂)>2,f(x₃)>3,...,f(x_n)>n... Последовательность (x_n) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(x_nk), которая сходится к точке x0∈[a;b] : lim_k→∞x_nk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(x_nk)). С одной стороны f(x_nk)>nk и поэтому lim_k→∞f(x_nk)=+∞  (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь lim_k→∞f(x_nk)=f(x₀) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=inf_x∈[a;b]f(x),d=sup_x∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале. Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=inf_x∈[a;b]f(x), d=sup_x∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x₁,x₂∈[a;b] , чтоf(x₁)=c,f(x₂)=d. Докажем, например, существование точки x₂.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x₂)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x₂)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x₁)=c. Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf_[a;b]f(x)=min_[a;b]f(x), а d=sup_[a;b]f(x)=max_[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.

??? Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной.

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

y’= lim_∆x→0(∆y/∆x)=lim_∆x→0(f(x+∆x)-f(x))/∆x

Нахождение производной называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая на всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: Производная f’(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0, т.е. k=f’(x₀). Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀ примет вид y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀).

Механический смысл производной: Производная пути по времени s’(t₀) есть скорость точки в момент t₀: v(t₀)=s’(t₀).