- •14. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).
- •15. Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы (доказательство).
- •16. Понятия бесконечно большой, бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
- •4)Теорема:
- •17. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
- •18. Односторонние пределы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке (доказательство).
- •19. Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими пределы (доказательства).
- •20.Связь понятий предела функции в точке и бесконечно малой функции (доказательство).
- •21. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль на замкнутом интервале (Больцано-Коши) (доказательство).
- •22. Односторонние производные функций. Теорема о существовании производной в точке (доказательство).
- •23. Правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций (доказательства).
- •24. Вывод формул вычисления производной сложной функции и обратной функции.
- •25. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •26. Теорема о связи дифференцируемости функции и существовании производной (доказательство).
- •27. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции (доказательство с использованием формулы Лагранжа или двучленной формулы Тейлора).
- •28. Необходимые и достаточные условия локального экстремума непрерывной функции (доказательства для максимума и минимума с использованием трехчленной формулы Тейлора).
- •29. Теоремы о выпуклости (вогнутости) графика непрерывной функции. Точки перегиба. (доказательство с использованием трехчленной формулы Тейлора).
- •30. Определение первообразной функции. Теорема о числе первообразных. Доказательство.
- •31. Вычисление площади области под графиком функции. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.
- •32. Вывод формул замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •36. Теорема о среднем значении определенного интеграла от непрерывной функции. Доказательство.
- •37. Определенный интеграл от непрерывной функции с переменным верхним пределом. Производная. Доказательство. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.
- •38. Понятия дифференциального уравнения и его решения. Порядок дифференциального уравнения. Общее, особое, частное решения.
- •39. Задача Коши для уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности. (Формулировка).
- •41. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод Эйлера. Представление общего решения.
- •42. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
- •43. Метод неопределенных коэффициентов для построения частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •44. Подстановка и матричный методы построения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
- •1. Определение вектора. Операции с векторами. Геометрическая интерпретация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
- •2. Понятие системы координат. Декартова система координат. Примеры. Размерность и базис арифметического пространства. Метрика.
19. Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими пределы (доказательства).
Теорема. (об арифметических операциях с функциями, имеющие пределы). Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке * пределы А и В соответственно, тогда функции f(x)+-g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) так же имеют в т. * пределы соответственно равные: A+-B, A*B, A/B (в случае частного считаем, что B≠0). Пользуясь условиями теоремы и представлением функции, имеющей предел в точке * в виде суммы некоторого предела и бесконечно малой функции, имеем f(x)=A + α(x), g(x)=B + β(x), где α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при x→*, f(x)+-g(x)=(A+-B)+[α(x) +- β(x)] → f(x)*g(x)= A*B + [A*β(x) + B*α(x) + α(x)*β(x)] → lim [f(x)+-g(x)]=A+-B=limx→*f(x)+-limx→*g(x)→ limx→*f(x)*g(x)=A*B= limx→*f(x)*limx→*g(x).
f(x)/g(x)=A/B+(B*α(x) – A*β(x))/(B(B+β(x))= limx→*f(x)/g(x)=A/B=(limx→*f(x))/(limx→*g(x)), где B≠0, limx→*g(x)≠0
20.Связь понятий предела функции в точке и бесконечно малой функции (доказательство).
Если функция f(x) имеет при x→x0 (x→∞) предел, равный А,то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой α(х) при x→x0 (x→∞), т.е. f(x)=A+ α(х).
Докажем теорему для случая x→x0. По условию lim x→x f(x)=A. Это означает, что для любого ɛ > 0 существует такое число δ > 0, что для всех x≠x0 и удовлетворяющих условию |x- x0| < δ будет верно неравенство |f(x) – A| < ɛ, или, обозначив α(х)=f(x) – A, справедливо неравенство |α(х)| < ɛ. Это и означает, что α(х) есть бесконечно малая при x→x0.
Верна и обратная теорема:
Если функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой α(х) при x→x0 (x→∞), то число А есть предел этой функции при x→x0 (x→∞), т.е. lim x→x f(x)=A.
По условию f(x)=A + α(х). Пусть, например, x→x0. Так как функция α(х)=f(x) – A есть бесконечно малая при x→x0, то для любого числа ɛ >0 существует такое число δ > 0, что для всех x≠x0 и удовлетворяющих условию |x- x0| < δ верно неравенство |α(х)| = |f(x) – A| < ɛ. Это и означает, что lim x→x f(x)=A.
??? Определение непрерывности функции в точке и области. Классификация разрывов функций.
Функцией f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке x0 (т.е. сушествует f(x0)); 2) имеет конечный предел функции при x→x0; 3) этот предел равен значению функции в точке x0, т.е. limx→x0 f(x)=f(x0).
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim∆x→0∆y=0.
Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x→x0, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при x→x0 существует, но не равен значению функции в этой точке.
Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.