32. Вывод формул замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифференцируема на промежутке T, а промежуток X − множество ее значений. Пусть функция y = f(x) определена на X и имеет на этом промежутке первообразную F(x).

Тогда на промежутке T функция F(ϕ(t)) является первообразной для функции f(ϕ(t))ϕ ^/(t).

Из теоремы 2 следует, что ∫ f(ϕ(t))ϕ /(t) dt = F(ϕ(t)) + C,	(1)
а так как F(ϕ(t)) + C = (F(x) + C)|x = (ϕt) = ∫ f(x) dx|x = (ϕt), то равенство (1) можно записать в виде ∫ f(x) dx|x = ϕ(t) = ∫ f(ϕ(t))ϕ'(t) dt.	(2)

Равенство (2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пусть на промежутке X функции u(x) и v(x) дифференцируемы и существует v(x)u'(x) dx (т. е. функция v(x)u'(x) имеет первообразную на X).

Тогда u(x)v'(x) dx также существует на X и

∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) − ∫v(x)u'(x) dx.

Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Так как u'(x) dx = du, v'(x) dx = dv, то эту формулу можно записать в виде

∫ udv = u(x)v(x) − ∫ vdu.

??? Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Доказательство.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n; 2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

??? Степенные ряды. Вывод формулы для радиуса сходимости степенного ряда. Область сходимости и поведение ряда на ее границах.

Степенным рядом называется ряд вида .

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Теорема. Если степенной ряд  сходится при x = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

 

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии  по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд   сходится, а значит ряд  сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

 

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

??? Площадь фигуры под графиком функции. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) определена на [a;b]

1) [a;b] произвольным образом разобьем на n частей точками. x0< x1< x2 меньше и так далеее меньше xn

[xk-1; xk] - частичные промежутки.

2) Для всех [xk-1; xk] произвольным образом выберем точку пси к.

3) - интегральная сумма для определенного интеграла.

4) max xk= . Разбиение [a;b] назовем основным, если 0.

Определение 1.

Определенным интегралом функции y=f(x) заданной на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы сигма при лямде, стремящейся к 0, если этот предел существует и конечен.

Обозначение определенного интеграла: (2)

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

??? Свойства определенного интеграла. Доказательство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования.

Свойства определенного интеграла.

[1]

Предел в формуле (2) не зависит от обозначения переменной при вычислении интеграла.

[2]

[3]

[4]

[5] Свойство аддитивности

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

 В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

  Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) - любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

     (1)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

     (2)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 1:

     Теорема 2.Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

     (3)

     В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (3) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 1. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу .

     Свойство интеграла, выражаемое теоремами 1 и 2, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.