???Понятие функции.

Определение: Если каждому элементу х множества Х(х ϵ Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества У(у ϵ У), то говорят, что на множестве Х задана функция у=f(x).

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у-зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения(или существования) функции, а множество У-областью значений функций.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых фунция у=f(х) вообще имеет смысл.

Способы задания функции.

Сущ. несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у=f(х). Этот способ наиболее часто встречается на практике.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x), например таблица логарифмов.

в) графический способ состоит в изображении графика функции-множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты - соответствующие им значения функции у=f(x).

г) словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: f(x)=1, если х-рационально, f(x)=0, если х-иррационально.

Обратная функция

Пусть у= f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений У. Поставим в соответствие каждому у ϵ У единственное значение х ϵ Х, при котором f(x)=у. Тогда полученная функция х=φ(х), определенная на множестве У с областью значений Х, называется обратной.

Суперпозиция.

Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=φ(x) от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f[φ(x)] называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функции, функцией от функции).

???Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции.

Четность/нечетность:

Функция f (x) называется четной, если для любого x ϵ D выполняются равенства:  1)  -x ϵ D 2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|

Функция f (x) называется нечетной, если для любого x ϵ D выполняются равенства:  1)  -x ϵ D,  2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x³.

Периодичность:

 f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

1)если xϵ D, то (x + T) и (x – T) также принадлежат области определения D (f (x));

2)для любого x ϵ D выполнено равенство f (x + T) = f (x).

Поскольку (x – T) ϵ D, то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где n ϵ Z, n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

В заключение отметим свойства периодических функций.

1.Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом T₁=T/k.

2.Пусть функции f₁ (x) и f₂ (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T₁ > 0 и T₂ > 0. Тогда если T₂/T₁ ϵ Q  то функция f(x)=f₁(x)+f₂(x)  периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T₁ и T₂

Монотонность:

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

1.Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2.Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3.Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

4.Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

5.Если функция f возрастает и неотрицательна, то f ⁿ где n ϵ N, также возрастает.

6.Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.

7.Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции

Экстремум

Определение: Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума

Выпуклость-вогнутость функции:

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x ϵ ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x ϵ ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

Элементарные функции 

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраической называется функция, в котором над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

-Целая рациональная функция(Многочлен),

-Дробно-рациональная- отношение двух многочленов,

- Иррациональная функция (Если в составе операции над аргументом имеется извлечение корня)

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К их числу относятся показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратная тригонометрическая функции.

14. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).

 Функция f:N X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}.

Предел последовательности

 Число A называется пределом последовательности x_n, если

 U(A)  N:  n > N x_n  U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение предела последовательности

 Число A называется пределом x_n, если

 > 0  N:  n > N |x_n-A |< 

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности (вместо слова "для любого") и квантор существования  (вместо слова "найдется").

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Теорема: Если последовательность сходится, то предел единственен.

Доказательство: Пусть lim_nx_n = A₁ и lim_nx_n = A₂, A₁ A₂, тогда выберем  - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве  можно взять число  = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела  N₁,N₂, что при n>N₁ x_nU(A₁), а при n>N₂ x_n U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_n U(A₁)U(A₂), что невозможно, так как U(A₁) U(A₂) = .

15. Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы (доказательство).

Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 называются соответственно последовательности {(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема о пределе суммы, произведения, частного.

Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:  x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}.Тогда: x_n=а+a_n,   y_n=b+b_n, где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n) - (а - b) =a_n-b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}, то x_n=а+a_n, y_n=b+b_n и x_n×y_n=a×b+a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. Следовательно,

x_n×y_n-а×b=a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. (в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×b_n+b×a_n+a_n×b_n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x_n×y_n-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x_n×y_n} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при условии, что предел {y_n} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y_n} отличны от ноля  и последовательность {1/y_n} ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность {x_n/y_n}. Пусть а и b – пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Докажем, что последовательность{x_n/y_n – a/b} бесконечно малая. В самом деле, так как x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, то x_n/y_n – a/b=(x_n*b-y_n*a)/y_n*b=(1/y_n)/(α_n- (a/b)*β_n). Так как последовательность {1/y_n} ограничена, а последовательность {α_n – (a/b)*β_n} бесконечно мала, то последовательность {(1/y_n)*((a/b)*β_n)}={x_n/y_n-a/b} бесконечно малая. Теорема доказана.