17. Предельный п­ереход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).

Соединяя две переменные и знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствуших значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.

1) Если две переменные , при всех их изменениях равны: причем каждая из них имеет конечный пpeдел: то равны и эти пределы: .

Непосредственно следует из единственности предела

Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равен­тве: из заключают, что

2) Если для двух переменных всегда выполняется неравенство причем каждая из них имеет конечный предел: то и .

Допустим противное: пусть . Рассуждая так же­ как и в пункте 36, 4), возьмем число r между а и b, так что . Тогда, с одной стороны, найдется такой номер N’, что для будет с друrой же ­ найдется и такой номер N’’, что для окажется . Если N больше обоих чисел N’, N’’, то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства

что противоречит предположению. Теорема доказана.

3) Вышеназванная теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что .

Мы обращаем внимание на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство, а только, по-прежнему: .

Так, например при всех n, и тем не менее

Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утверждение 3)

При установлении существования и величины предела часто бывает полезна теорема:

Теорема о пределе сжатой последовательности

Если для nеременных всегда выполняются неравенства

причем переменные стремятся к общему пределу a:

тo и nеременная имеет тот же предел:

Доказательство: Зададимся произвольным . По этому ε­ прежде всего, найдется такой номер ’, что при

Затем найдется такой номер, , что при

Пусть будет больше обоих чисел ; тогда, при , выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому

Окончательно при

Таким образом, действительно, .

Из этой теоремы в частности следует: если ,при всех n

и известно, что , то и ­. Впрочем, это очен­ь легко доказать и непосредственно.

18. Односторонние пределы. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке (доказательство).

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Односторонний предел по Гейне

Число A ϵ R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции f(x) в точке a, если для всякой последовательности {x_n}^∞_n=1, состоящей из точек, больших числа a, которая сама сходится к числу a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)}^∞_n=1 сходится к числу A .

Число A ϵ R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции f(x) в точке a, если для всякой последовательности {x_n}^∞_n=1, состоящей из точек, меньших числа a, которая сама сходится к числу a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)}^∞_n=1 сходится к числу A.

Признаки существования предела.(док-во)

1. Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Возможны 2 случая: а) последовательность неубывающая и ограниченная сверху; б) последовательность невозрастающая и ограниченная снизу.

2. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших значениях х) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел A при х→x₀ (или x→∞), то функция f(x) имеет тот же предел A.

Пусть при х→x₀ lim_х→∞ φ(x)=A, lim_х→∞ ψ(x)=A.

Это означает, что для любого ɛ > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех x≠x₀ и удовлетворяющих условию |x- x₀| < δ будут верны одновременно неравенства |φ(x) – A| < ɛ, |ψ(x) – A| < ɛ или A - ɛ < φ(x) < A + ɛ, A - ɛ < ψ(x) < A + ɛ.

Так как по условию функция f(x) заключена между двумя функциями, то из приведенного выше неравенства следует, что A - ɛ < f(x) < A + ɛ, т.е. |f(x) – A| < ɛ. А это и означает, что lim_х→∞ f(x)=A.