30. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.

СВ Х, распределенную по биномиальному закону с параметрами n,p, можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных альтернативных СВ X_i с параметром p:

_n

Х= ΣX_{i .} При этом МX_i =р, DX_i =Р(1-р). По свойству мат. ожидания

ⁱ⁼¹

МХ=

_{n n}

МХ= ΣМX_i=np , по св-ву дисперсии DX=ΣDX_i =np(1-p)

^{i=1 i=1}

31. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.

СВ Х, распределенную по биномиальному закону с параметрами n,p, можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных альтернативных СВ X_i с параметром p:

_n

Х= ΣX_{i .} При этом МX_i =р, DX_i =Р(1-р). По свойству мат.

ⁱ⁼¹ ожидания МХ=

_{n n}

МХ= ΣМX_i=np , по св-ву дисперсии DX=ΣDX_i =np(1-p)

^{i=1 i=1}

32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.

Делала сама проверяйте ...

Х	0	1	...	n
Р	p	p	...	p

∞ ∞

MX = Σ x_i p_i =p Σ x_i т.к р конст, можно вынести за знак суммы

^{i=1 i=1}

а т.к сумма случайных величин от 1 (р*0=0) до n можно представить как арифметическую прогрессию, то

a₁=1 ,a_n=n , то получим: (1+n)n/2

получим:

1+n

MX = - np

2

33. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для дисперсии этой случайной величины.

DX= M(x²)-(M(x)) ²

MX=∑ⁿ_i=1 x₁ p₁ = p ∑ⁿ_i=1 x₁

M(x)² = p (x²₁ +…x²_n)=p∑ⁿ_i=1 x²_i

D(x)= p∑ⁿ_i=1 x²_i – (p∑ⁿ_i=1 x_i)²

34. Вывести выражение для математического ожидания альтернативно распределенной случайной величины.

Альтернативной СВ, называется СВ Х, задаваемая рядом распределения

Х	0	1
р	1-р	р

МХ=0*(1-р)+1*р=р

М(Х²)=0²(1-р)+1²р=р

DX= М(Х²)-(МХ)²=р-р²=р(1-р)

35. Вывести выражение для дисперсии альтернативно распределенной случайной величины.

Альтернативной СВ, называется СВ Х, задаваемая рядом распределения

Х	0	1
р	1-р	р

МХ=0*(1-р)+1*р=р

М(Х²)=0²(1-р)+1²р=р

DX= М(Х²)-(МХ)²=р-р²=р(1-р)

36. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Говорят, что СВ Х распределена по закону Пуассона с параметром λ, если она принимает значения 0,1,2,… с вероятностями

Λ^k

P_n(k)= - *e^-λ где λ≥0

K!

∞ λ^k ∞ λ^k ∞ λ^k-1

MX= Σ *k*- * e^-λ= Σ*k *- * e^-λ = e^-λλ Σ* -

^k=1 k! ^k=1 k(k-1)! ^k=1 (k-1)!

Предположим, что k-1=m, получим

∞ λ^m

MX =λ* e^-λ Σ -

^m=0 m!

∞ λ^m

Принимая во внимание, что Σ - имеем МХ= λ*e^-λ* e^λ =λ

^m=0 m!

DX= М(Х²)-(МХ)²= М(Х²)- λ²

∞ λ^k e^-λ ∞ k λ^k e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ

M(X²) = Σ k² - = Σ k - = λ Σ k -

^k=1 k! ^k=1 k(k-1) ^k=1 (k-1)!

∞ λ^k-1 e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ ∞ λ^k-1 e^-λ

= λ Σ[(k-1)+1] - = λ [Σ(k-1) - + Σ - ] .

^k=1 (k-1)! ^k=1 (k-1)! ^k=1 (k-1)!

Допустим k-1 =m, получим

∞ λ^m e^-λ ∞ λ^m e^-λ

M(X²) = λ[Σ m - + Σ - ]

^m=0 m! ^m=0 m!

Принимая во внимание, что

∞ λ^m e^-λ ∞ λ^m e^-λ ∞ λ^m

Σ m - = λ , Σ - = e^-λ Σ - = e^-λ e^λ

^m=0 m! ^m=0 m! ^m=0 m!

Имеем,

M(X²) = λ(λ-1)= λ²+λ

DX= λ²+λ- λ²= λ