70.Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы м-л).

71. Выборочный коэффициент ковариации (формула).

Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две случайные величины и , причем одно и то же значение встречается раз, раз, одна и та же пара чисел ( наблюдается раз. Все данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Выборочная ковариация величин и определяется формулой

где , а , - выборочные средние величин и . При небольшом количестве экспериментальных данных удобно находить как полный вес ковариационного графа:

Рис. 101

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

где - выборочные средние квадратические отклонения величин и .

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между и : чем ближе к единице, тем сильнее линейная связь между и .

72. Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.

73. Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.

74. Доказать, что исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии.

C целью устранения смещения скорректируем оценку следующим образом:

S²= σ² с крышечкой= x_i- )²

В самом деле:

Ms²= Mσ² с крышечкой= σ² с крышечкой

Т.е. скорректированная оценка действительно не смещена.

75. Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?

Для значимых параметров связи имеет смысл найти интервальные оценки.

При определении с надежностью γ доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициентов корреляции ρ используют Z-преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z

Z' - t (1.7)

где t_γ вычисляют по таблице интегральной функции Лапласа (табл. 1 приложения) из условия

Φ(t)=γ

Значение Z' определяют по таблице Z - преобразования (табл. 6 приложения) по найденному значению r. Функция нечетная, т. е.

Z'(-r) = -Z'(r).

Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z - преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ :

r ρ r.

Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (rmin, rmax).

76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).

Х ~ N (a , δ), причем значение параметра a не известно, а значение дисперсии δ2 известно.

При Х ~ N (a , δ) эффективной оценкой параметра а является Х «с крышечкой», при этом Х «с крышечкой» ~ N (а, δ/√n). Статистика Z= Х «с крышечкой»-а|δ/√n имеет распределение N(0;1) независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства

ψа<ψ(Ө «с крышечкой», Ө) < ψа «с крышечкой»

и симметричности двусторонних критических границ распределния N (0;1)будем иметь:

Р(-uа < Z< ua )=1-a.

Решая неравенство -uа < Х «с крышечкой»-а|δ/√n < ua относительно а, получим, что с вероятностью 1-а выполняется неравенство:

Х «с крышечкой»-uа δ/√n <а<Х «с крышечкой»+ uа δ/√n

При этом

∆= uа δ/√n

что соответствует результату Р{|Z|≤ uа }=1-a, или Ф(uа) = (1-a)/2 число uа находят по таблице из условия Ф(uа) = (1-a)/2.