- •2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события а подчиняется неравенству .
- •3. Дайте определение события , противоположного событию а. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что .
- •5. Если появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события и ?
- •8. Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорем Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и её свойства
- •22. Функция плотности распределения вероятности и её свойства
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •25. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты случайных величин. Выражение мат.Ожидания и дисперсии св через моменты.
- •30. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.
- •31. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.
- •32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.
- •37. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
- •38. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
- •39. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа, ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».
- •48. Функции случайных величин и их числовые характеристики.
- •49. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения мат. Ожидания и дисперсии).
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной случайной величины и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и/или приведите примеры их выполнения.
- •55. Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •56. Доказать интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •57. Доказать теорему Бернулли о сходимости относительной частоты появления события к вероятности этого события.
- •58. Доказать неравенство Чебышева.
- •65. Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •66. Оценка плотности распределения выборки, ее свойства, способ построения.
- •67. Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •69. Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии.
- •70.Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы м-л).
- •71. Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).
- •77. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).
- •88. Что такое критерий согласия?
- •89. Сформулируйте критерий согласия .
- •90. Модель парной линейной регрессии: уравнение и основные вероятностные допущения.
23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
Ряд распред- табл, где перечислены все значения и указаны их вер-ти.
Закон распределения дискр случ величины обычно задается рядом распределения.
X итое x1 x2 … xn
P итое р1 р2 … pn (только это еще в табличке). При этом
n
∑рi = 1 , где суммирование распространяется на все (конечное или бескон) множество
I=1
значений данной случайной величины Х.
24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания.
M(X) = x1 p1+ x2 p2+...+ xn pn. Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈`X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка.
Свойства: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X). 3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z). 4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XYZ) = M(X)M(Y)M(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.
25. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X )) 2. Для вычислений удобнее пользоваться формулой : D ( X ) = M ( X 2 ) - ( M ( X )) 2. Дисперсия обладает следующими свойствами. 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C 2D ( X ). 3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ). 4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ). Дисперсию обозначают также как s 2 с нижним индексом, обозначающим соответствующую случайную величину или без него.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии. σ(X)= корень из(D(X)). Дисперсия D имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, пользуются средним квадратичным отклонением.